Chứng minh rằng tập hợp sức mạnh là một lĩnh vực?

Câu trả lời:

Tập hợp sức mạnh của một tập hợp là một vòng giao hoán dưới các hoạt động tự nhiên của liên kết và giao nhau, nhưng không phải là một trường trong các hoạt động đó, vì nó thiếu các phần tử nghịch đảo.

Giải trình:

Cho bất kỳ bộ #S#, xem xét bộ sức mạnh # 2 ^ S # của #S#.

Điều này có hoạt động tự nhiên của công đoàn # uu # mà hành xử như bổ sung, với một bản sắc # O / # và ngã tư # nn # mà hành xử như nhân với một bản sắc #S#.

Chi tiết hơn:

• # 2 ^ S # được đóng dưới # uu #

  Nếu #A, B trong 2 ^ S # sau đó #A uu B trong 2 ^ S #

• Có một bản sắc # O / trong 2 ^ S # cho # uu #

  Nếu #A trong 2 ^ S # sau đó #A uu O / = O / uu A = A #

• # uu # là liên kết

  Nếu #A, B, C trong 2 ^ S # sau đó #A uu (B uu C) = (A uu B) uu C #

• # uu # là giao hoán

  Nếu #A, B trong 2 ^ S # sau đó #A uu B = B uu A #

• # 2 ^ S # được đóng dưới # nn #

  Nếu #A, B trong 2 ^ S # sau đó #A nn B trong 2 ^ S #

• Có một bản sắc #S trong 2 ^ S # cho # nn #

  Nếu #A trong 2 ^ S # sau đó #A nn S = S nn A = A #

• # nn # là liên kết

  Nếu #A, B, C trong 2 ^ S # sau đó #A nn (B nn C) = (A nn B) nn C #

• # nn # là giao hoán

  Nếu #A, B trong 2 ^ S # sau đó #A nn B = B nn A #

• # nn # phân phối trái và phải # uu #

  Nếu #A, B trong 2 ^ S # sau đó #A nn (B uu C) = (A nn B) uu (A nn C) #

  và # (A uu B) nn C = (A nn C) uu (B nn C) #

Vì thế # 2 ^ S # thỏa mãn tất cả các tiên đề cần thiết để trở thành một vành giao hoán có thêm # uu # và nhân # nn #.

Nếu #S = O / # sau đó # 2 ^ S # có một yếu tố, cụ thể là # O / #, do đó, nó không có các đặc tính cộng và nhân riêng biệt và do đó không phải là một trường.

Nếu không thì lưu ý rằng #S# không có nghịch đảo dưới # uu # và # O / # không có nghịch đảo dưới # nn #. Vì thế # 2 ^ S # không tạo thành một trường do thiếu các yếu tố nghịch đảo.