Làm cách nào để đơn giản hóa (sin ^ 4x-2sin ^ 2x + 1) cosx?

Câu trả lời:

# cos ^ 5x #

Giải trình:

Loại vấn đề này thực sự không tệ khi bạn nhận ra rằng nó liên quan đến một chút đại số!

Đầu tiên, tôi sẽ viết lại biểu thức đã cho để làm cho các bước sau dễ hiểu hơn. Chúng ta biết rằng # tội ^ 2x # chỉ là một cách đơn giản hơn để viết # (sin x) ^ 2 #. Tương tự như vậy, # sin ^ 4x = (sin x) ^ 4 #.

Bây giờ chúng ta có thể viết lại biểu thức ban đầu.

# (sin ^ 4 x - 2 sin ^ 2 x +1) cos x #

# = (sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 cos x #

Bây giờ, đây là phần liên quan đến đại số. Để cho #sin x = a #. Chúng tôi có thể viết # (sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 # như

# a ^ 4 - 2 a ^ 2 + 1 #

Cái này nhìn có quen không? Chúng ta chỉ cần yếu tố này! Đây là một tam giác vuông hoàn hảo. Kể từ khi # a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 = (a-b) ^ 2 #, chúng ta có thể nói

# a ^ 4 - 2 a ^ 2 + 1 = (a ^ 2 - 1) ^ 2 #

Bây giờ, chuyển trở lại tình hình ban đầu. Thay thế lại #sin x # cho # a #.

# (sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 cos x #

# = (sin x) ^ 2 -1 ^ 2 cos x #

# = (màu (xanh dương) (sin ^ 2x - 1)) ^ 2 cos x #

Bây giờ chúng ta có thể sử dụng một danh tính lượng giác để đơn giản hóa các thuật ngữ màu xanh lam. Sắp xếp lại danh tính # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #, chúng tôi nhận được #color (màu xanh) (sin ^ 2 x -1 = -cos ^ 2x) #.

# = (màu (xanh dương) (- cos ^ 2x)) ^ 2 cos x #

Một khi chúng ta bình phương này, các dấu hiệu tiêu cực nhân lên để trở nên tích cực.

# = (cos ^ 4x) cos x #

# = cos ^ 5x #

Như vậy # (sin ^ 4 x - 2 sin ^ 2 x +1) cos x = cos ^ 5x #.