Calculus

X in (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) Chúng ta có thể tuần đó sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) ^ n là một chuỗi hình học với tỷ lệ r = 1 / (x (1-x)). Bây giờ chúng ta biết rằng chuỗi hình học hội tụ khi giá trị tuyệt đối của tỷ lệ nhỏ hơn 1: | r | <1 iff - 1 <r <1 Vì vậy, chúng ta phải giải bất đẳng thức này: 1 / (x (1 - x)) <1 và 1 / (x (1-x))> -1 Hãy bắt đầu với cái đầu tiên: 1 / (x (1-x)) <1 iff 1 / (x (1-x)) - (x (1-x )) / (x (1-x)) <0 iff (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 Chúng ta có thể dễ dà Đọc thêm »

(-3, -8) Các điểm dừng của hàm là khi dy / dx = 0 y = x ^ 2 + 6x + 1 dy / dx = 2x + 6 dy / dx = 0 = 2x + 6 x = -6 / 2 = -3 (-3) ^ 2 + 6 (-3) + 1 = 9-18 + 1 = -8 Điểm dừng xảy ra tại (-3, -8) Đọc thêm »

Thể tích tối đa của hình trụ được tìm thấy nếu chúng ta chọn r = sqrt (2/3) R và h = (2R) / sqrt (3) Lựa chọn này dẫn đến thể tích hình trụ tối đa là: V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) `` Hãy tưởng tượng một mặt cắt ngang qua tâm của hình trụ và để hình trụ có chiều cao h, và thể tích V, khi đó ta có; h và r có thể thay đổi và R là hằng số. Thể tích của hình trụ được tính theo công thức tiêu chuẩn: V = pir ^ 2h Bán kính của hình cầu, R là cạnh huyền của tam giác vớ Đọc thêm »

Cảnh báo: Giáo viên toán của bạn sẽ không thích phương pháp giải này! (nhưng nó gần hơn với cách nó sẽ được thực hiện trong thế giới thực). Lưu ý rằng nếu x rất nhỏ (vì vậy thang gần như thẳng đứng) thì chiều dài của thang sẽ gần như oo và nếu x rất lớn (vì vậy thang gần như nằm ngang) chiều dài của thang sẽ (lại) gần như oo Nếu chúng ta bắt đầu với một giá trị rất nhỏ cho x và tăng dần nó, chiều dài của thang sẽ (ban đầu) sẽ ngắn hơn nhưng đến một lúc nào đó, nó sẽ cần bắt đầu tăng trở lại Đọc thêm »

Tôi sẽ nói oo; Trong giới hạn của bạn, bạn có thể tiếp cận 1 từ bên trái (x nhỏ hơn 1) hoặc bên phải (x lớn hơn 1) và mẫu số sẽ luôn là một số rất nhỏ và dương (do sức mạnh của hai) cho: lim_ ( x-> 1) (5 / (x-1) ^ 2) = 5 / (+ 0,0000 .... 1) = oo Đọc thêm »

Lim_ (x-> 0) (cos (x) -1) / x = 0. Chúng tôi xác định điều này bằng cách sử dụng Quy tắc của L'hospital. Để diễn giải, quy tắc của L'Hospital nói rằng khi được đưa ra một giới hạn có dạng lim_ (x a) f (x) / g (x), trong đó f (a) và g (a) là các giá trị gây ra giới hạn không xác định (thường xuyên nhất, nếu cả hai đều bằng 0 hoặc một số dạng), miễn là cả hai hàm đều liên tục và khác biệt tại và trong vùng lân cận của a, người ta có thể nói rằng lim_ (x a) f (x) / g (x) = lim_ (x a) Đọc thêm »

Có một số cách viết nó. Tất cả đều nắm bắt cùng một ý tưởng. Với y = f (x), đạo hàm của y (đối với x) là y '= dy / dx = lim_ (Deltax rarr0) (Delta y) / (Delta x) f' (x) = lim_ (Deltax rarr0 ) (f (x + Delta x) -f (x)) / (Delta x) f '(x) = lim_ (hrarr0) (f (x + h) -f (x)) / (h) f' ( x) = lim_ (urarrx) (f (u) -f (x)) / (ux) Đọc thêm »

Lim_ (x-> 0) sin (x) / x = 1. Chúng tôi xác định điều này bằng cách sử dụng Quy tắc của L'Hospital. Để diễn giải, quy tắc của L'Hospital nói rằng khi được đưa ra một giới hạn có dạng lim_ (x-> a) f (x) / g (x), trong đó f (a) và g (a) là các giá trị gây ra giới hạn cho không xác định (thường xuyên nhất, nếu cả hai đều bằng 0 hoặc một dạng oo), miễn là cả hai hàm đều liên tục và khác biệt tại và trong vùng lân cận của a, người ta có thể nói rằng lim_ (x-> a) f (x ) / g (x) = lim_ Đọc thêm »

E ^ 4 Lưu ý định nghĩa nhị thức cho số Euler: e = lim_ (x-> oo) (1 + 1 / x) ^ x- = lim_ (x-> 0) (1 + x) ^ (1 / x) Tại đây Tôi sẽ sử dụng định nghĩa x-> oo. Trong công thức đó, hãy để y = nx Sau đó 1 / x = n / y và x = y / n Số Euler sau đó được thể hiện dưới dạng tổng quát hơn: e = lim_ (y-> oo) (1 + n / y) ^ (y / n) Nói cách khác, e ^ n = lim_ (y-> oo) (1 + n / y) ^ y Vì y cũng là một biến nên chúng ta có thể thay thế x thay cho y: e ^ n = lim_ (x-> oo) (1 + n / x) ^ x Do đó, khi n = 4, lim_ (x-> oo) (1 + 4 Đọc thêm »

Lim_ (x rarr 0 ^ +) 1 / x- (1) / (e ^ x-1) = 1/2 Cho: f (x) = 1 / x- (1) / (e ^ x-1) " "= ((e ^ x-1) - (x)) / (x (e ^ x-1))" "= (e ^ x-1 - x) / (xe ^ xx) Sau đó, chúng tôi tìm kiếm: L = lim_ (x rarr 0 ^ +) f (x) = lim_ (x rarr 0 ^ +) (e ^ x-1 - x) / (xe ^ xx) Vì đây là dạng không xác định 0/0 nên chúng ta có thể áp dụng quy tắc của L'Hôpital. L = lim_ (x rarr 0 ^ +) (d / dx (e ^ x-1 - x)) / (d / dx (xe ^ xx)) = lim_ (x rarr 0 ^ +) (e ^ x -1) / (xe ^ x + e ^ x - 1) Một lần nữa, đây là dạng không xác định 0/0, Đọc thêm »

Nếu hai giới hạn được cộng lại với nhau bằng 0, toàn bộ sẽ đạt tới 0. Sử dụng thuộc tính giới hạn phân phối trên phép cộng và phép trừ. => lim_ (x-> oo) 1 / x - lim_ (x-> oo) 1 / (e ^ x - 1) Giới hạn đầu tiên là tầm thường; 1 / "lớn" ~ ~ 0. Người thứ hai yêu cầu bạn biết rằng e ^ x tăng khi x tăng. Do đó, như x-> oo, e ^ x -> oo. => màu (màu xanh) (lim_ (x-> oo) 1 / x - 1 / (e ^ x - 1)) = 1 / oo - 1 / (oo - hủy (1) ^ "nhỏ") = 0 - 0 = màu (xanh dương) (0) Đọc thêm »

Lim_ (x-> 0 ^ +) (1 / x-1 / (e ^ x-1)) = 1/2 Tổng hai thuật ngữ: 1 / x-1 / (e ^ x-1) = (xe ^ x + 1) / (x (e ^ x-1)) Giới hạn hiện ở dạng không xác định 0/0, vì vậy bây giờ chúng ta có thể áp dụng quy tắc của l'Hospital: lim_ (x-> 0 ^ +) (1 / x- 1 / (e ^ x-1)) = lim_ (x-> 0 ^ +) (d / dx (e ^ x + 1-x)) / (d / dx x (e ^ x-1)) lim_ ( x-> 0 ^ +) (1 / x-1 / (e ^ x-1)) = lim_ (x-> 0 ^ +) (e ^ x-1) / (e ^ x-1 + xe ^ x ) và vì điều này xảy ra ở dạng 0/0 lần thứ hai: lim_ (x-> 0 ^ +) (1 / x-1 / (e ^ x-1)) = lim_ (x-> 0 ^ +) (d / dx (e ^ x-1)) / (d / dx (e ^ x Đọc thêm »

Lim_ (x-> 1) 7/4 (x-1) ^ 2 = 0 Chúng ta biết rằng f (x) = 7/4 (x-1) ^ 2 = 0 liên tục trên miền của nó. Vậy lim_ (x-> c) f (x) = f (c) với mọi x trong miền của f. Do đó lim_ (x-> 1) 7/4 (x-1) ^ 2 = 7/4 (1-1) ^ 2 = 0 Đọc thêm »

Nhìn bên dưới Đầu tiên, viết lại này dưới dạng lim_ (x-> 1) 7 / (4 (x-1) ^ 2 ngay hệ số (x-1) ^ 2 = (x-1) (x-1) = x ^ 2- 2x + 1 frac {7} {4x ^ 2-2x + 1} hiện thay thế x -> 1 frac {7} {4 (1) ^ 2 -2 (1) +1 7/3 do đó lim_ (x- > 1) 7 / (4 (x-1) ^ 2) = 7/6 Đọc thêm »

1 / ex ^ (1 / (1-x)): đồ thị {x ^ (1 / (1-x)) [-2.064, 4.095, -1.338, 1.74]} Chà, điều này sẽ dễ dàng hơn nhiều nếu chúng ta chỉ đơn giản lấy ln của cả hai bên. Vì x ^ (1 / (1-x)) liên tục trong khoảng mở bên phải của 1, nên chúng ta có thể nói rằng: ln [lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1- x))] = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln (x ^ (1 / (1-x))) = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln x / (1-x) Vì ln (1) = 0 và (1 - 1) = 0, đây là dạng 0/0 và quy tắc của L'Hopital được áp dụng: = lim_ (x-> 1 ^ (+)) (1 "/" x) / (- 1) Và tất nhiên Đọc thêm »

(Tôi cho rằng bạn có nghĩa là x = 0) Hàm, sử dụng các thuộc tính sức mạnh, trở thành: y = ((1 + x) ^ (1/2)) ^ (1/5) = (1 + x) ^ (( 1/2) (1/5)) = (1 + x) ^ (1/10) Để thực hiện xấp xỉ tuyến tính của hàm này, rất hữu ích khi nhớ chuỗi MacLaurin, đó là đa thức của Taylor ở giữa. Chuỗi này, bị gián đoạn với sức mạnh thứ hai, là: (1 + x) ^ alpha = 1 + alpha / (1!) X + (alpha (alpha-1)) / (2!) X ^ 2 ... vì vậy tuyến tính xấp xỉ hàm này là: g (x) = 1 + 1/10 Đọc thêm »

Biểu đồ là một hyperbola, vì vậy có hai dòng đối xứng: y = x - 1 và y = -x + 1 Đồ thị của y = 1 / (x - 1) là một hyperbola. Hyperbolas có hai dòng đối xứng. cả hai đường đối xứng đều đi qua tâm của hyperbola. Một đi qua các đỉnh (và qua các tiêu điểm) và cái kia vuông góc với đầu tiên. Đồ thị của y = 1 / (x - 1) là bản dịch của đồ thị y = 1 / x. y = 1 / x có tâm (0,0) và hai đối xứng: y = x và y = -x Với y = 1 / (x-1), chúng tôi đã thay thế x bằng x-1 (và chúng tôi chưa thay thế y Đọc thêm »

3/2 * (sqrt (x ^ 3 - 2x + 3)) * (3x ^ 2 - 2) Quy tắc chuỗi: d / dx f (g (x)) = f '(g (x)) * g' (x) Quy tắc sức mạnh: d / dx x ^ n = n * x ^ (n-1) Áp dụng các quy tắc này: 1 Hàm bên trong, g (x) là x ^ 3-2x + 3, hàm ngoài, f (x) là g (x) ^ (3/2) 2 Lấy đạo hàm của hàm ngoài bằng quy tắc công suất d / dx (g (x)) ^ (3/2) = 3/2 * g (x) ^ (3/2 - 2/2) = 3/2 * g (x) ^ (1/2) = 3/2 * sqrt (g (x)) f '(g (x)) = 3/2 * sqrt (x ^ 3 - 2x + 3) 3 Lấy đạo hàm của hàm bên trong d / dx g (x) = 3x ^ 2 -2 g '(x) = 3x ^ 2 -2 4 Nhân f' (g (x (x Đọc thêm »

Intx ^ 2e ^ (- x) dx = -e ^ (- x) (x ^ 2 + 2x + 2) + C Tích hợp bởi các bộ phận nói rằng: intv (du) / (dx) = uv-intu (dv) / (dx) u = x ^ 2; (du) / (dx) = 2x (dv) / (dx) = e ^ (- x); v = -e ^ (- x) intx ^ 2e ^ (- x) dx = -x ^ 2e ^ (- x) -int-2xe ^ (- 2x) dx Bây giờ chúng tôi làm điều này: int-2xe ^ (- 2x) dx u = 2x; (du) / (dx) = 2 (dv ) / (dx) = - e ^ (- x); v = e ^ (- x) int-2xe ^ (- x) dx = 2xe ^ (- x) -int2e ^ (- x) dx = 2xe ^ ( -x) + 2e ^ (- x) intx ^ 2e ^ (- x) dx = -x ^ 2e ^ (- x) - (2xe ^ (- x) + 2e ^ (- x)) = - x ^ 2e ^ (- x) -2xe ^ (- x) -2e ^ (- x) + C = -e ^ (- x) (x ^ 2 + Đọc thêm »

"Bình thường" => y = - (3x) / (8-24sqrt3) + (152sqrt3-120 + 3pi) / (24-72sqrt2) => y ~ ~ 0,089x-1,52 Bình thường là đường vuông góc với tiếp tuyến. f (x) = giây (4x) -cot (2x) f '(x) = 4sec (4x) tan (3x) + 2csc ^ 2 (2x) f' (pi / 3) = 4sec ((4pi) / 3 ) tan ((4pi) / 3) + 2csc ^ 2 ((2pi) / 3) = (8-24sqrt3) / 3 Đối với bình thường, m = -1 / (f '(pi / 3)) = - 3 / ( 8-24sqrt3) f (pi / 3) = giây ((4pi) / 3) -cot ((2pi) / 3) = (sqrt3-6) / 3 (sqrt3-6) / 3 = -3 / (8- 24sqrt3) (pi / 3) + cc = (sqrt3-6) / 3 + pi / (8-24sqrt3) = (152sqrt3-120 + 3pi) / (24-72sqrt2) &quo Đọc thêm »

Tôi nghĩ rằng bạn đang hỏi về đạo hàm định hướng ở đây và tốc độ thay đổi tối đa là độ dốc, dẫn đến vec tơ thông thường. Vì vậy, với vô hướng f (x, y) = y ^ 2 / x, chúng ta có thể nói rằng: nabla vec f = langle - y ^ 2 / x ^ 2, (2y) / x rangle = vec n And: vec n _ {( 2,4)} = nabla f _ {(2,4)} = langle -4, 4 rangle Vì vậy, chúng tôi có thể kết luận rằng: abs (vec n _ {(2,4)}) = abs (langle -4, 4 rangle) = 2 sq2 Đọc thêm »

X_ {max} = + infty x_ {min} = 0 Hàm có tiệm cận đứng trong x = pi và tối đa của nó là khi mẫu số có giá trị thấp nhất chỉ cho x = + pi, thay vào đó là tối thiểu khi mẫu số là lớn nhất I Echo x = 0 và x = 2pi Kết luận tương tự có thể được suy ra bằng cách lấy hàm và nghiên cứu dấu của đạo hàm đầu tiên! Đọc thêm »

Trước hết, không có con số không xác định. Có những con số và có những mô tả nghe có vẻ giống như chúng có thể mô tả một con số, nhưng chúng không có. "Số x tạo ra x + 3 = x-5" là một mô tả như vậy. Như là "Số 0/0." Tốt nhất là tránh nói (và suy nghĩ) rằng "0/0 là một số không xác định". . Trong ngữ cảnh của các giới hạn: Khi đánh giá giới hạn của một hàm "được xây dựng" bởi một số hàm kết hợp đại số, chúng tôi sử dụng c& Đọc thêm »

483720 Chúng ta biết rằng sum_ (k = 1) ^ (k = 1391) abs (xk) = sum_ (k = -695) ^ (k = 695) abs (xk) Bây giờ mức tối thiểu được định vị bằng đối xứng, tại x = 0 vì vậy min f (x) = f (0) = sum_ (k = -695) ^ (k = 695) abs (-k) = 2 xx ((696 xx 695) / 2) = 695 xx 696 = 483720 Đọc thêm »

9 Điểm tối thiểu và tối đa tương đối có thể được tìm thấy bằng cách đặt đạo hàm về 0. Trong trường hợp này, f '(x) = 0 iff6x-6 = 0 iff x = 1 Giá trị hàm tương ứng tại 1 là f (1) = 9. Do đó điểm (1,9) là một điểm cực trị tương đối. Vì đạo hàm thứ hai là dương khi x = 1, f '' (1) = 6> 0, nên hàm ý x = 1 là mức tối thiểu tương đối. Vì hàm f là đa thức bậc 2, đồ thị của nó là một parabol và do đó f (x) = 9 cũng là mức tối thiểu tuyệt đối của hàm trên (-oo, oo). Biểu đồ đ Đọc thêm »

Giá trị tối thiểu là x = 1-sqrt 5 khoảng "-" 1.236; g (1 - sqrt 5) = - (1+ sqrt 5) / (8) xấp xỉ "-" 0,405. Trong khoảng thời gian đóng, các vị trí có thể có mức tối thiểu sẽ là: mức tối thiểu cục bộ bên trong khoảng hoặc điểm cuối của khoảng. Do đó, chúng tôi tính toán và so sánh các giá trị cho g (x) tại bất kỳ x trong ["-2", 2] làm cho g '(x) = 0, cũng như tại x = "- 2" và x = 2. Đầu tiên: g '(x) là gì? Sử dụng quy tắc thương, chúng tôi nhận được: g & Đọc thêm »

Hàm liên tục tăng trong khoảng [1,7] giá trị tối thiểu của nó là x = 1. Rõ ràng là x ^ 2-2x-11 / x không được xác định tại x = 0, tuy nhiên, nó được xác định trong khoảng [1,7]. Bây giờ đạo hàm của x ^ 2-2x-11 / x là 2x-2 - (- 11 / x ^ 2) hoặc 2x-2 + 11 / x ^ 2 và nó dương trong suốt [1,7] Do đó, hàm này là liên tục tăng trong khoảng [1,7] và như vậy giá trị tối thiểu của x ^ 2-2x-11 / x trong khoảng [1,7] là tại x = 1. đồ thị {x ^ 2-2x-11 / x [-40, 40, -20, 20]} Đọc thêm »

Có một giá trị tối thiểu là 0 nằm ở cả x = 0 và x = 1. Đầu tiên, chúng ta có thể viết ngay hàm này dưới dạng g (x) = x / (1 / sin (pix)) = xsin (pix) Nhắc lại rằng csc (x) = 1 / sin (x). Bây giờ, để tìm các giá trị tối thiểu trên một khoảng, hãy nhận ra rằng chúng có thể xảy ra ở điểm cuối của khoảng hoặc tại bất kỳ giá trị quan trọng nào xảy ra trong khoảng. Để tìm các giá trị tới hạn trong khoảng, đặt đạo hàm của hàm bằng 0. Và, để phân biệt hàm, chúng ta sẽ phải sử dụng quy tắc sản Đọc thêm »

Nhật ký lim_ (xtooo) (4 + 5x) - log (x-1) = log (5) lim_ (xtooo) log (4 + 5x) - log (x-1) = lim_ (xtooo) log ((4 + 5x) ) / (x-1)) Sử dụng quy tắc chuỗi: lim_ (xtooo) log ((4 + 5x) / (x-1)) = lim_ (utoa) log (lim_ (xtooo) (4 + 5x) / (x- 1)) lim_ (xtooo) (ax + b) / (cx + d) = a / c lim_ (xtooo) (5x + 4) / (x-1) = 5 lim_ (uto5) log (u) = log5 Đọc thêm »

-sin (pi / 2x ^ 2-pix) * (pix-pi) Trước tiên, hãy lấy đạo hàm của hàm ngoài, cos (x): -sin (pi / 2x ^ 2-pix). Nhưng bạn cũng phải nhân số này với đạo hàm của những gì bên trong, (pi / 2x ^ 2-pix). Làm điều này theo thuật ngữ. Đạo hàm của pi / 2x ^ 2 là pi / 2 * 2x = pix. Đạo hàm của -pix chỉ là -pi. Vì vậy, câu trả lời là -sin (pi / 2x ^ 2-pix) * (pix-pi) Đọc thêm »

Câu trả lời là x + arctan (x) Lưu ý đầu tiên rằng: (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) có thể được viết là (1 + 1 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) = 1 / (1 + x ^ 2) + (1 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) = 1 + 1 / (1 + x ^ 2) => int (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) dx = int [1 + 1 / (1 + x ^ 2)] dx = int [1] dx + int [1 / (1 + x ^ 2)] dx = x + int [1 / ( 1 + x ^ 2)] dx = Đạo hàm của arctan (x) là 1 / (1 + x ^ 2). Điều này ngụ ý rằng tính đối kháng của 1 / (1 + x ^ 2) là arctan (x) Và trên cơ sở đó chúng ta có thể viết: int [1 + 1 / (1 + x ^ 2)] dx = x + arctan ( x) Do Đọc thêm »

Đây là một ví dụ ... Bạn có thể có (nsin (t), mcos (t)) khi n! = M, và n và m không bằng 1. Điều này thực chất là vì: => x = nsin (t) => x ^ 2 = n ^ 2sin ^ 2 (t) => x ^ 2 / n ^ 2 = sin ^ 2 (t) => y = mcos (t) => y ^ 2 / m ^ 2 = cos ^ 2 (t) => x ^ 2 / n ^ 2 + y ^ 2 / m ^ 2 = sin ^ 2 (t) + cos ^ 2 (t) Sử dụng thực tế là sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 ( x) = 1 ... => x ^ 2 / n ^ 2 + y ^ 2 / m ^ 2 = 1 Đây thực chất là một hình elip! Lưu ý rằng nếu bạn muốn một hình elip không phải hình tròn, bạn phải chắc chắn rằng n Đọc thêm »

Intcosx / sin ^ 2xdx = -cscx Đặt u = sinx, sau đó du = cosxdx và intcosx / sin ^ 2xdx = int (du) / u ^ 2 = -1 / u = -1 / sinx = -cscx Đọc thêm »

43 Vận tốc tức thời được cho bởi (DS) / dt. Vì s (t) = t ^ 3 + 8t ^ 2-t, (ds) / dt = 3t ^ 2 + 16t-1. Tại t = 2, [(DS) / dt] _ (t = 2) = 3 * 2 ^ 2 + 16 * 2-1 = 43. Đọc thêm »

Chuỗi hội tụ Để tìm xem chuỗi a_n = ln (n ^ 2) / n = (2ln (n)) / n có hội tụ hay không, chúng ta quan sát a_n là gì khi n-> oo. lim_ (n-> oo) a_n = lim_ (n-> oo) (2ln (n)) / n Sử dụng quy tắc của l'Hôpital, = lim_ (n-> oo) (2 / n) / 1 = lim_ (n-> oo) 2 / n = 0 Vì lim_ (n-> oo) a_n là một giá trị hữu hạn, chuỗi hội tụ. Đọc thêm »

Câu trả lời là (3x ^ 2-3) * (2x ^ 2 + 3x + 5) + (x ^ 3 - 3x) * (4x + 3), đơn giản hóa thành 10x ^ 4 + 12x ^ 3-3x ^ 2- 18x-15. Theo quy tắc sản phẩm, (f g) = f ′ g + f g Điều này chỉ có nghĩa là khi bạn phân biệt một sản phẩm, bạn làm đạo hàm của thứ nhất, để lại thứ hai, cộng với đạo hàm của thứ hai, để lại người đầu tiên một mình. Vì vậy, cái đầu tiên sẽ là (x ^ 3 - 3x) và cái thứ hai sẽ là (2x ^ 2 + 3x + 5). Được rồi, bây giờ đạo hàm của cái thứ nhất là 3x ^ 2-3, lần thứ hai là (3x ^ 2-3) * (2x ^ Đọc thêm »

112pi "hoặc" 351,86 cm "/" phút Một đồng xu có thể được xem như một hình trụ nhỏ. Và âm lượng của nó được lấy từ công thức: V = pir ^ 2h Chúng tôi được yêu cầu tìm cách thay đổi âm lượng. Điều này có nghĩa là chúng tôi đang tìm kiếm tốc độ thay đổi âm lượng theo thời gian, đó là (dV) / (dt) Vì vậy, tất cả những gì chúng tôi phải làm là phân biệt âm lượng theo thời gian, như được hiển thị bên dưới, => (dV) / (dt) = d (pir ^ 2h) / (dt) = pi (2r * (dr Đọc thêm »

2 giây (2x) (giây ^ 2 (2x) + tan ^ 2 (2x)) y '= (giây (2x)) (tan (2x))' + (tan (2x)) (giây (2x)) '( Quy tắc sản phẩm) y '= (giây (2x)) (giây ^ 2 (2x)) (2) + (tan (2x)) (giây (2x) tan (2x)) (2) (Quy tắc chuỗi và dẫn xuất của trig ) y '= 2 giây ^ 3 (2x) + 2 giây (2x) tan ^ 2 (2x) y' = 2 giây (2x) (giây ^ 2 (2x) + tan ^ 2 (2x)) Đọc thêm »

Quy tắc sản phẩm cho các trạng thái đạo hàm đã cho hàm f (x) = g (x) h (x), đạo hàm của hàm là f '(x) = g' (x) h (x) + g (x) h '(x) Quy tắc sản phẩm được sử dụng chủ yếu khi chức năng mà người ta mong muốn phái sinh rõ ràng là sản phẩm của hai chức năng hoặc khi chức năng sẽ được phân biệt dễ dàng hơn nếu được xem là sản phẩm của hai chức năng. Ví dụ, khi nhìn vào hàm f (x) = tan ^ 2 (x), việc biểu thị hàm dưới dạng sản phẩm sẽ dễ dàng hơn, trong trường hợp này là f (x) = tan (x) tan (x). Tron Đọc thêm »

Y '= (5x-2) ^ 3 (6x + 1) ^ 2 ((15) / (5x-2) + (12) / (6x + 1)) 1 / ln (y) = 3ln (5x-2 ) + 2ln (6x + 1) 2 / (1) / (y) y '= (3) ((1) / (5x-2)) (5) + (2) ((1) / (6x + 1 )) (6) 3 / (1) / (y) y '= (15) / (5x-2) + (12) / (6x + 1) 4 / y' = y ((15) / (5x- 2) + (12) / (6x + 1)) 5 / y '= (5x-2) ^ 3 (6x + 1) ^ 2 ((15) / (5x-2) + (12) / (6x + 1) Đọc thêm »

Một giới hạn cho phép chúng ta kiểm tra xu hướng của một chức năng xung quanh một điểm nhất định ngay cả khi chức năng không được xác định tại điểm đó. Chúng ta hãy nhìn vào chức năng dưới đây. f (x) = {x ^ 2-1} / {x-1} Vì mẫu số của nó bằng 0 khi x = 1, f (1) không xác định; tuy nhiên, giới hạn của nó tại x = 1 tồn tại và chỉ ra rằng giá trị hàm tiếp cận 2 ở đó. lim_ {x đến 1} {x ^ 2-1} / {x-1} = lim_ {x đến 1} {(x + 1) (x-1)} / {x-1} = lim_ {x đến 1 } (x + 1) = 2 Công cụ này rất hữu ích trong tính to Đọc thêm »

Y = x-7 Đặt y = f (x) = x ^ 2-5x + 2 Tại x = 3, y = 3 ^ 2-5 * 3 + 2 = 9-15 + 2 = -6 + 2 = -4 Vì vậy, tọa độ là (3, -4). Trước tiên chúng ta cần tìm độ dốc của đường tiếp tuyến tại điểm bằng cách phân biệt f (x) và cắm x = 3 vào đó. : .f '(x) = 2x-5 Tại x = 3, f' (x) = f '(3) = 2 * 3-5 = 6-5 = 1 Vì vậy, độ dốc của đường tiếp tuyến sẽ có 1. Bây giờ, chúng tôi sử dụng công thức độ dốc điểm để tìm ra phương trình của đường thẳng, đó là: y-y_0 = m (x-x_0) trong đó m là độ dốc của đường thẳng, (x_0, y_0) l Đọc thêm »

Tốc độ thay đổi của chiều rộng theo thời gian (dW) / (dt) = 0,6 "ft / s" (dW) / (dt) = (dW) / (dh) xx (dh) / dt (dh) / (dt ) = - 1 "ft / s" Vậy (dW) / (dt) = (dW) / (dh) xx-1 = - (dW) / (dh) Wxxh = 60 W = 60 / h (dW) / ( dh) = - (60) / (h ^ 2) Vậy (dW) / (dt) = - (- (60) / (h ^ 2)) = (60) / (h ^ 2) Vậy khi h = 10 : rArr (dW) / (dt) = (60) / (10 ^ 2) = 0,6 "ft / s" Đọc thêm »

Tốc độ thay đổi trung bình cho độ dốc của đường thẳng, nhưng tốc độ thay đổi tức thời (đạo hàm) tạo ra độ dốc của đường tiếp tuyến. Tốc độ thay đổi trung bình: (f (x + h) -f (x)) / h = (f (b) -f (a)) / (ba), trong đó khoảng là [a, b] Tốc độ thay đổi tức thời : lim_ (h -> 0) (f (x + h) -f (x)) / h Cũng lưu ý rằng tốc độ thay đổi trung bình xấp xỉ tốc độ thay đổi tức thời trong khoảng thời gian rất ngắn. Đọc thêm »

Y = cscx = 1 / sinx = (sinx) ^ - 1 Để tìm max / min, chúng ta tìm đạo hàm đầu tiên và tìm các giá trị mà đạo hàm bằng không. y = (sinx) ^ - 1: .y '= (- 1) (sinx) ^ - 2 (cosx) (quy tắc chuỗi): .y' = - cosx / sin ^ 2x Ở mức tối đa / phút, y '= 0 => - cosx / sin ^ 2x = 0: .cosx = 0: .x = -pi / 2, pi / 2, ... Khi x = pi / 2 => y = 1 / sin (pi / 2) = 1 Khi x = -pi / 2 => y = 1 / sin (-pi / 2) = - 1 Vì vậy, có những bước ngoặt tại (-pi / 2, -1) và (pi / 2.1) Nếu chúng ta nhìn tại đồ thị của y = cscx, chúng tôi Đọc thêm »

I = 1 / 4ln (x ^ 4-4x ^ 2) + C Chúng tôi muốn giải I = int (x ^ 2-2) / (x ^ 3-4x) dx Nhân số DEN và NUM với x I = int ( x ^ 3-2x) / (x ^ 4-4x ^ 2) dx Bây giờ chúng ta có thể tạo cho tôi màu thay thế đẹp (màu đỏ) (u = x ^ 4-4x ^ 2 => du = 4x ^ 3-8xdx = 4 ( x ^ 3-2x) dx I = 1 / 4int1 / udu màu (trắng) (I) = 1 / 4ln (u) + C màu (trắng) (I) = 1 / 4ln (x ^ 4-4x ^ 2) + C Đọc thêm »

Như được giải thích dưới đây. Nếu có một, trường vectơ bảo thủ F (x, y, z) = Mdx + Ndy + Pdz. chức năng tiềm năng của nó có thể được tìm thấy. Nếu hàm tiềm năng là, giả sử f (x, y, z), thì f_x (x, y, z) = M, f_y (x, y, z) = N và f_z (x, y, z) = P . Khi đó, f (x, y, z) = int Mdx + C1 f (x, y, z) = int Ndy + C2 và f (x, y, z) = int Pdz + C3, trong đó C1 sẽ là một số chức năng của y và z, C2 sẽ là một số hàm của x và z, C3 sẽ là một số hàm của x và y Từ ba phiên bản này của f (x, y, z), hàm tiềm năng f (x, y Đọc thêm »

-1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) Để phân biệt điều này, chúng tôi sẽ áp dụng quy tắc chuỗi: Bắt đầu bằng cách để theta = arcsin (1 / x) => sin (theta) = 1 / x Bây giờ hãy phân biệt từng thuật ngữ trên cả hai vế của phương trình tương ứng với x => cos (theta) * (d (theta)) / (dx) = - 1 / x ^ 2 Sử dụng danh tính: cos ^ 2theta + sin ^ 2theta = 1 => costheta = sqrt (1-sin ^ 2theta) => sqrt (1-sin ^ 2theta) * (d (theta)) / (dx) = - 1 / x ^ 2 => (d (theta)) / (dx) = - 1 / x ^ 2 * 1 / sqrt (1-sin ^ 2theta) Nhớ lại: sin (theta) = 1 / x "" và "&quo Đọc thêm »

F '' (x) = 6 / x ^ 4> viết lại f (x) = 1 / x ^ 2 = x ^ -2 rArr f '(x) = -2x ^ -3 rArr f' '(x) = 6x ^ -4 = 6 / x ^ 4 Đọc thêm »

(4f * g) (x) Đặt P (x) = (f * g) (x) = f (x) g (x) Sau đó sử dụng quy tắc sản phẩm: P '(x) = f' (x) g ( x) + f (x) g '(x). Sử dụng điều kiện được đưa ra trong câu hỏi, chúng tôi nhận được: P '(x) = (g (x)) ^ 2+ (f (x)) ^ 2 Bây giờ sử dụng quy tắc sức mạnh và chuỗi: P' '(x) = 2g (x) g '(x) + 2f (x) f' (x). Áp dụng điều kiện đặc biệt của câu hỏi này một lần nữa, chúng tôi viết: P '' (x) = 2g (x) f (x) + 2f (x) g (x) = 4f (x) g (x) = 4 (f * g) (x) Đọc thêm »

H '' (x) = 9 giây (3x + 1) [giây ^ 2 (3x + 1) + tan ^ 2 (3x + 1)] Cho: h (x) = sec (3x + 1) Sử dụng đạo hàm sau quy tắc: (sec u) '= u' sec u tan u; "" (tan u) '= u' sec ^ 2 u Quy tắc sản phẩm: (fg) '= f g' + g f 'Tìm đạo hàm đầu tiên: Đặt u = 3x + 1; "" u '= 3 h' (u) = 3 giây u tan u h '(x) = 3 giây (3x + 1) tan (3x + 1) Tìm đạo hàm thứ hai bằng quy tắc sản phẩm: Đặt f = 3 giây (3x + 1); "" f '= 9 giây (3x + 1) tan (3x + 1) Đặt g = tan (3x + 1); "" g '= 3 giây ^ 2 Đọc thêm »

F '' (x) = sec x ( sec ^ 2 x + tan ^ 2 x) hàm đã cho: f (x) = sec x Phân biệt w.r.t. x như sau frac {d} {dx} f (x) = frac {d} {dx} ( sec x) f '(x) = sec x tan x Một lần nữa, phân biệt f' (x) w.r.t. x, chúng tôi nhận được frac {d} {dx} f '(x) = frac {d} {dx} ( sec x tan x) f' '(x) = sec x frac {d} { dx} tan x + tan x frac {d} {dx} secx = sec xsec ^ 2 x + tan x sec x tan x = sec ^ 3 x + sec x tan ^ 2 x = sec x ( giây ^ 2 x + tan ^ 2 x) Đọc thêm »

D ^ 2 / (dx ^ 2) x / (x-1) = 2 / (x-1) ^ 3 Đối với vấn đề này, chúng tôi sẽ sử dụng quy tắc thương: d / dx f (x) / g (x) = (g (x) f '(x) -f (x) g' (x)) / [g (x)] ^ 2 Chúng ta cũng có thể làm cho nó dễ dàng hơn một chút bằng cách chia để lấy x / (x-1) = 1 + 1 / (x-1) Đạo hàm đầu tiên: d / dx (1 + 1 / (x-1)) = (d / dx1) + (d / dx ((x-1) (d / dx1) -1 (d / dx (x-1))) / (x-1) ^ 2) = 0 + ((x-1) (0) - (1) (1)) / (x-1) ^ 2 = - 1 / (x-1) ^ 2 Đạo hàm thứ hai: Đạo hàm thứ hai là đạo hàm của đạo hàm bậc nhất. d ^ 2 / (dx ^ 2) (1 + 1 / (x-1)) = Đọc thêm »

Câu 1 Nếu f (x) = (g (x)) / (h (x)) thì theo Quy tắc đơn vị f '(x) = (g' (x) * h (x) - g (x) * h '(x)) / ((g (x)) ^ 2) Vì vậy, nếu f (x) = x / (x - 1) thì đạo hàm đầu tiên f' (x) = ((1) (x - 1) - (x) (1)) / x ^ 2 = - 1 / x ^ 2 = - x ^ (- 2) và đạo hàm thứ hai là f '' (x) = 2x ^ -3 Câu 2 Nếu f (x) = 2 / x này có thể được viết lại thành f (x) = 2x ^ -1 và sử dụng các quy trình chuẩn để lấy đạo hàm f '(x) = -2x ^ -2 hoặc, nếu bạn thích f' (x) = - 2 / x ^ 2 Đọc thêm »

Y ^ ('') = (2 * x (x ^ 2 - 24)) / ((16-x ^ 2) * sqrt (16-x ^ 2)) Bắt đầu bằng cách tính đạo hàm đầu tiên của hàm y = x * sqrt (16-x ^ 2) bằng cách sử dụng quy tắc sản phẩm. Điều này sẽ giúp bạn d / dx (y) = [d / dx (x)] * sqrt (16 - x ^ 2) + x * d / dx (sqrt (16 - x ^ 2)) Bạn có thể phân biệt d / dx (sqrt (16 -x ^ 2)) bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi cho sqrt (u), với u = 16 -x ^ 2. d / dx (sqrt (u)) = d / (du) sqrt (u) * d / dx (u) d / dx (sqrt (u)) = 1/2 * 1 / sqrt (u) * d / dx (16-x ^ 2) d / dx (sqrt (16-x ^ 2)) = 1 / màu (đỏ) (hủy (màu (đen) (2))) Đọc thêm »

2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C Chúng ta cần tìm A, B, C sao cho 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x + B / x ^ 2 + C / (2x-1) cho tất cả x. Nhân cả hai vế với x ^ 2 (2x-1) để có 1 = Ax (2x-1) + B (2x-1) + Cx ^ 2 1 = 2Ax ^ 2-Ax + 2Bx-B + Cx ^ 2 1 = (2A + C) x ^ 2 + (2B-A) xB Các hệ số tương đương cho ta {(2A + C = 0), (2B-A = 0), (- B = 1):} Và do đó, chúng ta có A = -2, B = -1, C = 4. Thay thế điều này trong phương trình ban đầu, chúng ta nhận được 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2x-1) -2 / x-1 / x ^ 2 Bây giờ, hãy tích hợp thuật ngữ này theo thuật ngữ in Đọc thêm »

Int_0 ^ 6x ^ 3dx ~ ~ 324 Quy tắc của Simpson nói rằng int_b ^ af (x) dx có thể được xấp xỉ bằng h / 3 [y_0 + y_n + 4y_ (n = "lẻ") + 2y_ (n = "chẵn") h = (ba) / n = (6-0) / 6 = 6/6 = 1 int_0 ^ 6x ^ 3dx ~ ~ 1/3 [0 + 216 + 4 (1 + 27 + 125) +2 (8 + 64)] = [216 + 4 (153) +2 (72)] / 3 = [216 + 612 + 144] = 972/3 = 324 Đọc thêm »

Nó hội tụ Xem xét chuỗi sum_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ p, trong đó p> 1. Bằng cách kiểm tra p, loạt bài này hội tụ. Bây giờ, 1 / n ^ ln n <1 / n ^ p với tất cả n đủ lớn miễn là p là một giá trị hữu hạn. Do đó, bằng thử nghiệm so sánh trực tiếp, sum_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ ln n hội tụ. Trong thực tế, giá trị xấp xỉ bằng 2,2381813. Đọc thêm »

Dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x Sử dụng phân biệt logarit. y = (sinx) ^ x lny = ln ((sinx) ^ x) = xln (sinx) (Sử dụng thuộc tính của ln) Phân biệt ngầm: (Sử dụng quy tắc sản phẩm và chuỗi ruel) 1 / y dy / dx = 1ln ( sinx) + x [1 / sinx cosx] Vì vậy, chúng ta có: 1 / y dy / dx = ln (sinx) + x cotx Giải quyết cho dy / dx bằng cách nhân với y = (sinx) ^ x, dy / dx = ( ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x Đọc thêm »

= (10 (2x-5) ^ 4 * (x ^ 2 + 2) ^ 2 - (2x-5) ^ 5 * 4x (x ^ 2 + 2)) / (x ^ 2 + 2) ^ 4 f ' (x) = (f '(x) * g (x) - f (x) * g' (x)) / (g (x)) ^ 2 f '(x) = (((5 (2x-5) ) ^ 4 * 2) (x ^ 2 + 2) ^ 2) - (2x-5) ^ 5 * (2 (x ^ 2 + 2) * 2x)) / ((x ^ 2 + 2) ^ 2) ^ 2 = (10 (2x-5) ^ 4 * (x ^ 2 + 2) ^ 2 - (2x-5) ^ 5 * 4x (x ^ 2 + 2)) / (x ^ 2 + 2) ^ 4 Bạn có thể giảm nhiều hơn, nhưng nó chán giải phương trình này, chỉ cần sử dụng phương pháp đại số. Đọc thêm »

(dy) / (dx) = (xsen (x ^ 2 + 2) + sen (x + 2)) / (sqrtcos (x ^ 2 + 2) + sqrt (cos ^ 2 (x + 2))) (dy ) / (dx) = 1 / (2sqrtcos (x ^ 2 + 2) + sqrt (cos ^ 2 (x + 2))) * sen (x ^ 2 + 2) * 2x + 2sen (x + 2) (dy ) / (dx) = (2xsen (x ^ 2 + 2) + 2sen (x + 2)) / (2sqrtcos (x ^ 2 + 2) + sqrt (cos ^ 2 (x + 2))) (dy) / (dx) = (Canc2 (xsen (x ^ 2 + 2) + sen (x + 2))) / (Canc2sqrtcos (x ^ 2 + 2) + sqrt (cos ^ 2 (x + 2))) (dy) / (dx) = (xsen (x ^ 2 + 2) + sen (x + 2)) / (sqrtcos (x ^ 2 + 2) + sqrt (cos ^ 2 (x + 2))) Đọc thêm »

Chúng ta biết rằng chuỗi Maclaurin của e ^ x là sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) Chúng ta cũng có thể rút ra chuỗi này bằng cách sử dụng khai triển Maclaurin của f (x) = sum_ (n = 0) ^ oof ^ ((n)) (0) x ^ n / (n!) và thực tế là tất cả các dẫn xuất của e ^ x vẫn là e ^ x và e ^ 0 = 1. Bây giờ, chỉ cần thay thế chuỗi trên vào (e ^ x-1) / x = (sum_ (n = 0) ^ oo (x ^ n / (n!)) - 1) / x = (1 + sum_ (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!)) - 1) / x = (sum_ (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!))) / X = sum_ (n = 1) ^ oox ^ (n-1) / (n!) Nếu bạn muốn chỉ mục bắt đầu tại i = 0, chỉ cần Đọc thêm »

Dy / dx = -0,54 Đối với hàm cực f (theta), dy / dx = (f '(theta) sintheta + f (theta) costheta) / (f' (theta) costheta-f (theta) sintheta) f ( theta) = theta-sec ^ 3theta + thetasin ^ 3theta f '(theta) = 1-3 (giây ^ 2theta) (d / dx [sectheta]) - sin ^ 3theta + 3thetasin ^ 2theta (d / dx [sintheta) f '(theta) = 1-3 giây ^ 3thetatantheta-sin ^ 3theta + 3thetasin ^ 2thetacostheta f' ((5pi) / 3) = 1-3 giây ^ 3 ((5pi) / 3) tan ((5pi) / 3) - sin ^ 3 ((5pi) / 3) +3 ((5pi) / 3) sin ^ 2 ((5pi) / 3) cos ((5pi) / 3) ~ ~ -9,98 f ((5pi) / 3) = ((5pi) / 3) -sec ^ 3 ((5pi) / 3) + ((5pi) / 3) sin ^ Đọc thêm »

Dy / dx = 10x (x ^ 2 + 1) ^ 4 Nếu chúng ta viết điều này là: y = u ^ 5 thì chúng ta có thể sử dụng quy tắc chuỗi: dy / dx = (dy) / (du) * (du) / ( dx) (dy) / (du) = 5u ^ 4 (du) / (dx) = 2x dy / dx = (dy) / (du) * (du) / (dx) = 10xu ^ 4 Đưa trở lại vào x ^ 2 + 1 cho chúng ta: dy / dx = 10x (x ^ 2 + 1) ^ 4 Đọc thêm »

Xem bên dưới. If: y = lnx <=> e ^ y = x Sử dụng định nghĩa này với hàm đã cho: e ^ y = (sin (x + 3)) ^ 2 Phân biệt ngầm: e ^ ydy / dx = 2 (sin (x + 3 )) * cos (x + 3) Chia cho e ^ y dy / dx = (2 (sin (x + 3)) * cos (x + 3)) / e ^ y dy / dx = (2 (sin (x +3)) * cos (x + 3)) / (sin ^ 2 (x + 3)) Hủy các yếu tố phổ biến: dy / dx = (2 (hủy (sin (x + 3))) * cos (x + 3 )) / (sin ^ hủy (2) (x + 3)) dy / dx = (2cos (x + 3)) / (sin (x + 3)) Bây giờ chúng ta có đạo hàm và do đó sẽ có thể tính được độ dốc tại x = pi / 3 Cắm vào giá trị này: (2cos Đọc thêm »

Lim_ (xto0 ^ +) x ^ 4ln (x) = 0 f (x) = x ^ 4ln (x) [(x, f (x)), (1,0), (0,1, -2.30 * 10 ^ - 4), (0,01, -4,61 * 10 ^ -8), (0,001, -6,91 * 10 ^ -12)] Vì x có xu hướng 0 từ phía bên tay phải, f (x) vẫn ở phía âm khi x < 1, nhưng các giá trị tự tiến gần hơn đến 0 khi x-> 0 lim_ (xto0 ^ +) x ^ 4ln (x) = 0 đồ thị {x ^ 4ln (x) [-0.05 1, -0.1, 0.01]} Đọc thêm »

Độ dốc tiếp tuyến với y tại x = 1/3 là -8 y = x ^ 2 (3x + 1 / x ^ 3) = x ^ 2 (3x + x ^ (- 3)) dy / dx = x ^ 2 ( 3-3x ^ (- 4)) + 2x (3x + x ^ (- 3)) Quy tắc sản phẩm = 3x ^ 2-3x ^ (- 2) + 6x ^ 2 + 2x ^ (- 2) = 9x ^ 2- x ^ (- 2) Độ dốc (m) của tiếp tuyến với y tại x = 1/3 là dy / dx tại x = 1/3 Do đó: m = 9 * (1/3) ^ 2 - (1/3 ) ^ (- 2) m = 1-9 = 8 Đọc thêm »

Độ dốc là 0. Minima (số nhiều của 'tối thiểu') của các đường cong trơn tru xảy ra tại các điểm rẽ, theo định nghĩa cũng là các điểm dừng. Chúng được gọi là văn phòng phẩm bởi vì tại các điểm này, hàm gradient bằng 0 (vì vậy hàm không "di chuyển", tức là nó đứng yên).Nếu hàm gradient bằng 0, thì độ dốc của đường tiếp tuyến tại điểm đó cũng bằng 0. Một ví dụ dễ dàng cho hình ảnh là y = x ^ 2. Nó có cực tiểu tại điểm gốc và nó cũng tiếp tuyến với trục x tại điểm đ&# Đọc thêm »

E ^ a * (a / 2) * (1 - a) "Bạn có thể sử dụng chuỗi Taylor và bỏ các điều khoản bậc cao hơn trong giới hạn" "cho" x-> 0 "." x ^ y = exp (y * ln (x)) => (1 + x) ^ y = exp (y * ln (1 + x)) "và" ln (1 + x) = x - x ^ 2 / 2 + x ^ 3/3 - ... "và" exp (x) = 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3/6 + x ^ 4/24 + ... "Vậy" exp (y * ln (1 + x)) = exp (y * (x - x ^ 2/2 + ...)) => (1 + x) ^ (a / x) = exp ((a / x) * ln (1 + x)) = exp ((a / x) * (x - x ^ 2/2 + x ^ 3/3 - ...)) = exp (a - a * x / 2 + a * x ^ 2/3 - ...) => (1 + rìu) ^ (1 / x) = exp ((1 / x Đọc thêm »

Sử dụng công thức: Area = h / 2 (y_1 + y_n + 2 (y_2 + y_3 + ... + y_ (n-1))) để thu được kết quả: Area = 4314/3145 ~ = 1.37 h là độ dài bước Chúng tôi tìm độ dài bước bằng công thức sau: h = (ba) / (n-1) a là giá trị tối thiểu của x và b là giá trị tối đa của x. Trong trường hợp của chúng tôi a = 0 và b = 6 n là số dải. Do đó n = 4 => h = (6-0) / (4-1) = 2 Vì vậy, các giá trị của x là 0,2,4,6 "NB:" Bắt đầu từ x = 0, chúng tôi thêm chiều dài bước h = 2 để nhận giá trị tiếp theo Đọc thêm »

Câu trả lời là tối thiểu trên khoảng là f (2) = e ^ 2} -2e ^ 2 không thực sự là một lựa chọn, nhưng (c) là một xấp xỉ tốt. f (x) = e ^ x} - 2e ^ x f '(x) = - e ^ x} - 2 e ^ x Đạo hàm đó rõ ràng là âm ở mọi nơi nên hàm giảm dần trong khoảng. Vậy giá trị tối thiểu của nó là f (2) = e ^ 2} -2e ^ 2. Nếu tôi là người gắn bó (mà tôi là) tôi sẽ không trả lời câu hỏi nào ở trên vì không có cách nào mà đại lượng siêu việt có thể bằng một trong nh Đọc thêm »

Độ dốc của đường vuông góc là 1/4, nhưng đạo hàm của đường cong là -1 / {2sqrt {x}}, sẽ luôn âm, vì vậy tiếp tuyến của đường cong không bao giờ vuông góc với y + 4x = 4. f (x) = 2 - x ^ {1/2} f '(x) = - 1/2 x ^ {- 1/2} = -1 / {2sqrt {x}} Dòng đã cho là y = -4x + 4 vì vậy có độ dốc -4, do đó, đường vuông góc của nó có độ dốc đối ứng âm, 1/4. Chúng tôi đặt đạo hàm bằng số đó và giải: 1/4 = -1 / {2 sqrt {x}} sqrt {x} = -2 Không có x thực nào thỏa mãn điều đó, v Đọc thêm »

Nó hội tụ hoàn toàn. Sử dụng thử nghiệm để hội tụ tuyệt đối. Nếu chúng ta lấy giá trị tuyệt đối của các số hạng, chúng ta sẽ nhận được chuỗi 4 + 1 + 1/4 + 1/16 + ... Đây là một chuỗi hình học có tỷ lệ phổ biến 1/4. Do đó, nó hội tụ. Vì cả hai | a_n | hội tụ a_n hội tụ hoàn toàn. Hy vọng điều này sẽ giúp! Đọc thêm »

H = 1000 / (2pix) - x trong 31a, bạn cần công thức tính tổng diện tích bề mặt của hình trụ. tổng diện tích bề mặt của một hình trụ giống như tổng của cả hai bề mặt tròn (trên và dưới) và diện tích bề mặt cong. diện tích bề mặt cong có thể được coi là một hình chữ nhật (nếu nó được lăn ra). chiều dài của hình chữ nhật này sẽ là chiều cao của hình trụ và chiều rộng của nó sẽ là chu vi của một hình tròn trên đỉnh hoặc dưới cùng. chu vi của một vòng tròn là 2pir. chiều cao l Đọc thêm »

Int cos (x) / (sin ^ 2 (x) + sin (x)) "d" x = ln | sin (x) / (sin (x) +1) | + C int cos (x) / (sin ^ 2 (x) + sin (x)) "d" x Thay thế u = sin (x) và "d" u = cos (x) "d" x. Điều này cho = int ("d" u) / (u ^ 2 + u) = int ("d" u) / (u (u + 1)) Tách thành một phần phân số kể từ 1 / (u (u + 1 )) = 1 / u-1 / (u + 1): = int (1 / u-1 / (u + 1)) "d" u = ln | u | -ln | u + 1 | + C = ln | u / (u + 1) | + C Thay thế lại u = sin (x): = ln | sin (x) / (sin (x) +1) | + C Đọc thêm »

Int sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + C Vì dễ dàng hơn để chỉ xử lý một x dưới một căn bậc hai, chúng ta hoàn thành hình vuông: x ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2 + kx ^ 2 + 4x = x ^ 2 + 4x + 4 + kk = -4 x ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2-4 int sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx Bây giờ chúng ta cần thực hiện thay thế lượng giác. Tôi sẽ sử dụng các hàm hyperbolic (vì tích phân secant thường không đẹp lắm). Chúng tôi muốn sử dụng danh tính sau: cosh ^ 2 (theta) -1 = sinh ^ 2 Đọc thêm »

Nếu 0 <x <e ^ (- 15/56) thì f bị lõm xuống; nếu x> e ^ (- 15/56) thì f lõm lên; x = e ^ (- 15/56) là điểm uốn (giảm) Để phân tích độ lõm và điểm uốn của hàm số hai lần khác nhau f, chúng ta có thể nghiên cứu tính tích cực của đạo hàm bậc hai. Trong thực tế, nếu x_0 là một điểm trong miền của f, thì: nếu f '' (x_0)> 0, thì f được lõm vào trong một vùng lân cận của x_0; nếu f '' (x_0) <0, thì f bị lõm xuống trong vùng lân cận x_0; if f '' (x_0) Đọc thêm »

Một hàm được lõm lên khi đạo hàm thứ hai dương, nó bị lõm xuống khi âm và có thể có một điểm uốn khi nó bằng không. y '= 18x ^ 2 + 54 y' '= 36x + 54 vì vậy: y' '> 0rArrx> -54 / 36rArrx> -3/2. Trong (-3 / 2, + oo) lõm lên, trong (-oo, -3 / 2) lõm xuống, trong x = -3 / 2 có một điểm uốn. Đọc thêm »

X = y = sqrt (a) x * y = a => x * y - a = 0 f (x, y) = sqrt (x) + sqrt (y) "là tối thiểu" "Chúng tôi có thể làm việc với hệ số nhân Lagrange L: "f (x, y, L) = sqrt (x) + sqrt (y) + L (x * ya)" Sản lượng sinh ra: "{df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * y = 0 {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (y)) + L * x = 0 {df} / {dL} = x * ya = 0 => y = a / x => { df} / dy = 1 / (2 * sqrt (a / x)) + L * x = 0 = sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) + L * x = 0 => {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * a / x = 0 => sqrt (x) / 2 + L * a = 0 "(sau khi nhân với x"! = "0)& Đọc thêm »

1/4 "Bạn có thể sử dụng bản mở rộng Taylor series." cos (x) = 1 - x ^ 2/2! + x ^ 4/4! - ... tan (x) = x + x ^ 3/3 + 2 x ^ 5/15 + ... => cos ^ 2 (x) = 1 - x ^ 2 + x ^ 4 (1/4 + 2/24) ... = 1 - x ^ 2 + x ^ 4/3 ... => tan (3x) = 3x + 9 x ^ 3 + ... => (x * cos ^ 2 (x) ) / (x + tan (3x)) = (x - x ^ 3 + x ^ 5/3 ...) / (4x + 9 x ^ 3 + ...) x-> 0 => "sức mạnh cao hơn biến mất "= (X - ...) / (4x + ...) = 1/4 Đọc thêm »

1 / 3ln | x + 1 | -1 / 6ln | x ^ 2-x + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) + C Bắt đầu bằng cách tính hệ số mẫu số: 1 + x ^ 3 = (x + 1) (x ^ 2-x + 1) Bây giờ chúng ta có thể thực hiện một phần phân số: 1 / (1 + x ^ 3) = 1 / ((x + 1) (x ^ 2-x + 1)) = A / (x + 1) + (Bx + C) / (x ^ 2-x + 1) Chúng ta có thể tìm thấy A bằng phương pháp che đậy: A = 1 / ((văn bản (////)) ( (-1) ^ 2 + 1 + 1)) = 1/3 Tiếp theo, chúng ta có thể nhân cả hai bên theo mẫu số LHS: 1 = 1/3 (x ^ 2-x + 1) + (Bx + C) (x + 1) 1 = 1/3 / 2-1 / 3x + 1/3 + Bx ^ 2 + Bx + Cx + C 1 = (1/3 + Đọc thêm »

Điểm (2, -3) không nằm trên đường cong đã cho. Đặt tọa độ (2, -3) vào phương trình đã cho, chúng ta nhận được: LHS = 2 (16) (4) (81) +6 (8) +7 (9) = 10368 +48 +63 = 10479 ! = 2703 Vì vậy, điểm (2, -3) không nằm trên đường cong đã cho. Đọc thêm »

9 = e ^ (y ^ 2-y) / e ^ x + y - xy 9 = e ^ (y ^ 2-y) * e ^ (- x) + y - xy 9 = e ^ (y ^ 2- yx) + y - xy Phân biệt với x. Đạo hàm của số mũ là chính nó, nhân với đạo hàm của số mũ. Hãy nhớ rằng bất cứ khi nào bạn phân biệt thứ gì đó có chứa y, quy tắc chuỗi cung cấp cho bạn một yếu tố của y '. 0 = e ^ (y ^ 2-yx) (2yy '-y'-1) + y' - (xy '+ y) 0 = e ^ (y ^ 2-yx) (2yy' -y'-1) + y '- xy'-y Bây giờ giải quyết cho y'. Đây là một sự khởi đầu: 0 = 2yy'e ^ (y ^ 2-yx) -y'e ^ (y ^ 2-yx) -e ^ (y ^ 2-yx) + y  Đọc thêm »

Bắt đầu bằng cách sử dụng tài sản phân phối. Đặt y = sqrtx (x - 4) Sau đó y = xsqrtx - 4sqrtx = x ^ (3/2) - 4x ^ (1/2) Phân biệt bằng cách sử dụng quy tắc công suất. dy / dx = (3/2) x ^ (1/2) - 2x ^ (- 1/2) = (3/2) x ^ (1/2) - 2 / x ^ (1/2) = ( 3sqrtx / 2) - 2 / sqrtx Lấy mẫu số chung là 2sqrtx, và bạn sẽ đến câu trả lời của họ. Đọc thêm »

Int e ^ x cos (x) "d" x = 1 / 2e ^ x (sin (x) + cos (x)) + CI = int e ^ x cos (x) "d" x Chúng tôi sẽ được sử dụng tích hợp bởi các bộ phận, trong đó tuyên bố rằng int u "d" v = uv-int v "d" u. Sử dụng tích hợp theo các phần, với u = e ^ x, du = e ^ x "d" x, "d" v = cos (x) "d" x và v = sin (x): I = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) "d" x Sử dụng tích hợp bởi các phần một lần nữa cho tích phân thứ hai, với u = e ^ x, "d" u = e ^ x "d" x, " d "v = sin (x) Đọc thêm »

0 "Câu hỏi này không được đặt ra là" 0.93969 "là một đa thức bậc 0 thực hiện công việc." "Một máy tính tính giá trị của cos (x) thông qua chuỗi Taylor" "." "Chuỗi Taylor của cos (x) là:" 1 - x ^ 2 / (2!) + X ^ 4 / (4!) - x ^ 6 / (6!) + ... "Những gì bạn cần biết là góc bạn điền vào chuỗi này "" phải bằng radian. Vì vậy, 20 ° = "pi / 9 = 0.349 ..." rad. " "Để có chuỗi hội tụ nhanh | x | phải nhỏ hơn 1," "theo sở thích nhỏ hơn 0 Đọc thêm »

Xem bên dưới: Bước đầu tiên là tìm đạo hàm đầu tiên của f. f (x) = 6x-x ^ 2 f '(x) = 6-2x Do đó: f' (- 1) = 6 + 2 = 8 Giá trị của ý nghĩa 8 là đây là độ dốc của f trong đó x = - 1. Đây cũng là độ dốc của đường tiếp tuyến chạm vào đồ thị của f tại điểm đó. Vì vậy, hàm dòng của chúng ta hiện tại là y = 8x Tuy nhiên, chúng ta cũng phải tìm hàm chặn y, nhưng để thực hiện điều này, chúng ta cũng cần tọa độ y của điểm trong đó x = -1. Cắm x = -1 vào f. f (-1) = - 6- (1) = - Đọc thêm »

Dy / dx = -1,5 Trước tiên, chúng tôi tìm thấy d / dx của mỗi thuật ngữ. d / dx [xy ^ 2] -d / dx [(1-xy) ^ 2] = d / dx [C] d / dx [x] y ^ 2 + d / dx [y ^ 2] x-2 ( 1-xy) d / dx [1-xy] = 0 y ^ 2 + d / dx [y ^ 2] x-2 (1-xy) (d / dx [1] -d / dx [xy]) = 0 y ^ 2 + d / dx [y ^ 2] x-2 (1-xy) (- d / dx [x] y + d / dx [y] x) = 0 y ^ 2 + d / dx [y ^ 2] x-2 (1-xy) (- y + d / dx [y] x) = 0 Quy tắc chuỗi cho chúng ta biết: d / dx = d / dy * dy / dx y ^ 2 + dy / dx d / dy [y ^ 2] x-2 (1-xy) (- y + dy / dxd / dy [y] x) = 0 y ^ 2 + dy / dx 2yx-2 (1-xy) (- y + dy / dx x) = 0 dy / dx 2yx-2 (1-x) dy / dx x = -y ^ 2-2y Đọc thêm »

"Xem giải thích" a_n = ((1 + 3 / n) ^ 4) ^ n = (((1 + 3 / n) ^ 2) ^ 2) ^ n = ((1 + 6 / n + 9 / n ^ 2) ^ 2) ^ n = (1 + 36 / n ^ 2 + 81 / n ^ 4 + 12 / n + 18 / n ^ 2 + 108 / n ^ 3) ^ n = (1 + 12 / n + 54 / n ^ 2 + 108 / n ^ 3 + 81 / n ^ 4) ^ n "Lưu ý rằng bạn có thể dễ dàng áp dụng giới hạn của Euler tại đây:" lim_ {n-> oo} (1 + 1 / n) ^ n = e = 2.7182818 .... => lim_ {n-> oo} (1 + 3 / n) ^ (12 * n / 3) = e ^ 12 = 162754.79 .... "Vì vậy, chuỗi phát triển rất lớn nhưng không phải là vô hạn lớn, vì vậy nó "" hội tụ. &qu Đọc thêm »

"So sánh nó với" sum_ {n = 0} ^ oo 1 / (n!) = Exp (1) = e = 2.7182818 ... "Mỗi thuật ngữ bằng hoặc nhỏ hơn" sum_ {n = 0} ^ oo 1 / (n!) = Exp (1) = e = 2.7182818 ... "Tất cả các điều khoản đều dương nên tổng S của chuỗi nằm trong khoảng" 0 <S <e = 2.7182818 .... "Vì vậy, chuỗi hoàn toàn hội tụ. " Đọc thêm »

Xem bên dưới Bước đầu tiên là tìm đạo hàm thứ hai của hàm f (x) = 2x ^ 4-e ^ (8x) f '(x) = 8x ^ 3-8e ^ (8x) f' '(x) = 24x ^ 2-64e ^ (8x) Sau đó, chúng ta phải tìm giá trị của x trong đó: f '' (x) = 0 (Tôi đã sử dụng máy tính để giải quyết điều này) x = -0.3706965 Vì vậy, tại giá trị x đã cho, đạo hàm thứ hai là 0. Tuy nhiên, để nó là một điểm uốn, phải có một thay đổi dấu hiệu xung quanh giá trị x này. Do đó, chúng ta có thể cắm các giá trị v Đọc thêm »

V = (2pi) / 15 Trước tiên, chúng ta cần các điểm mà x và x ^ 2 gặp nhau. x = x ^ 2 x ^ xx = 0 x (x-1) = 0 x = 0 hoặc 1 Vậy giới hạn của chúng tôi là 0 và 1. Khi chúng tôi có hai hàm cho âm lượng, chúng tôi sử dụng: V = piint_a ^ b (f (x) ^ 2-g (x) ^ 2) dx V = piint_0 ^ 1 (x ^ 2-x ^ 4) dx V = pi [x ^ 3/3-x ^ 5/5] _0 ^ 1 V = pi (1 / 3-1 / 5) = (2pi) / 15 Đọc thêm »

Y '= (2x-3) (3x ^ 2 + 4) +2 (x + 5) (3x ^ 2 + 4) + 6x (2x-3) (x + 5) y' = 24x ^ 3 + 63x ^ 2-74x + 28 Nếu y = uvw, trong đó u, v và w đều là các hàm của x, thì: y '= uvw' + uv'w + u'vw (Điều này có thể được tìm thấy bằng cách thực hiện quy tắc chuỗi với hai các hàm được thay thế thành một, tức là tạo uv = z) u = x + 5 u '= 1 v = 2x-3 v' = 2 w = 3x ^ 2 + 4 w '= 6x y' = (2x-3) (3x ^ 2 + 4) +2 (x + 5) (3x ^ 2 + 4) + 6x (2x-3) (x + 5) y '= 6x ^ 3 + 8x-9x ^ 2-12 + 6x ^ 3 + 8 x + 30x ^ 2 + 40 + 12x ^ 3 + 60x ^ 2-18x ^ Đọc thêm »

Dy / dx = - (yx (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (- 1/2) -1-2y ^ -1) / (xy ^ -2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1 / 2) + y ^ 2 (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (- 1/2)) Được rồi, đây là một cái rất dài. Tôi sẽ đánh số từng bước để làm cho nó dễ dàng hơn và tôi cũng không kết hợp các bước để bạn biết điều gì đang xảy ra. Bắt đầu với: 2xy ^ -1 = y (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2) -x Đầu tiên chúng tôi lấy d / dx của mỗi số hạng: 2. d / dx [2xy ^ -1] = d / dx [y (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2)] - d / dx [x] 3. d / dx [2x] y ^ -1 + xd / dx [y ^ -1] = d / dx [y] (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2) + yd / dx [(x ^ Đọc thêm »

Y = 11.2x-20.2 Hoặc y = (5e ^ (3/2)) / 2x-2e ^ (3/2) y = e ^ (3/2) ((5x) / 2-2) Chúng tôi có: f (x) = (x ^ 2e ^ x) ^ (1/2) f '(x) = (x ^ 2e ^ x) ^ (- 1/2) / 2 * d / dx [x ^ 2e ^ x] f '(x) = (x ^ 2e ^ x) ^ (- 1/2) / 2 * (2xe ^ x + x ^ 2e ^ x) f' (x) = ((2xe ^ x + x ^ 2e ^ x) (x ^ 2e ^ x) ^ (- 1/2)) / 2 f '(x) = (2xe ^ x + x ^ 2e ^ x) / (2 (x ^ 2e ^ x) ^ (1 / 2)) = (2xe ^ x + x ^ 2e ^ x) / (2sqrt (x ^ 2e ^ x)) f '(3) = (2 (3) e ^ 3 + 3 ^ 2e ^ 3) / (2sqrt (3 ^ 2e ^ 3)) = (5e ^ (3/2)) / 2 ~ ~ 11,2 y = mx + cf (3) = sqrt (9e ^ 3) = 3e ^ (3/2) ~ ~ 13.4 13.4 = 11,2 (3) + cc = 13,4-11,2 (3) = - 2 Đọc thêm »

F '(x) = (5e ^ x + giây ^ 2x) (x ^ 2-2x) + (5e ^ x + tanx) (2x-2) Với f (x) = (5e ^ x + tanx) (x ^ 2-2x), chúng tôi tìm thấy f '(x) bằng cách thực hiện: f' (x) = d / dx [5e ^ x + tanx] (x ^ 2-2x) + (5e ^ x + tanx) d / dx [x ^ 2-2x] f '(x) = (5e ^ x + giây ^ 2x) (x ^ 2-2x) + (5e ^ x + tanx) (2x-2) Đọc thêm »

F (x) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} Chúng ta hãy xem xét một số chi tiết. f (x) = arctanx f '(x) = 1 / {1 + x ^ 2} = 1 / {1 - (- x ^ 2)} Hãy nhớ rằng chuỗi lũy thừa hình học 1 / {1-x} = sum_ { n = 0} ^ infty x ^ n bằng cách thay x bằng -x ^ 2, Rightarrow 1 / {1 - (- x ^ 2)} = sum_ {n = 0} ^ infty (-x ^ 2) ^ n = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} Vì vậy, f '(x) = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} Bằng cách tích hợp, f (x) = int sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} dx bằng cách đặt dấu tích phân bên trong phép t& Đọc thêm »

Lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) = 0 Chúng tôi tìm kiếm: L = lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) Cả tử số và mẫu số 2 rarr 0 là x rarr 0. do đó giới hạn L (nếu nó tồn tại) có dạng không xác định 0/0, và do đó, chúng ta có thể áp dụng quy tắc L'Hôpital để có được: L = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin ( t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) Bây giờ, sử dụng định lý cơ bản của phép tính: d / dx int_0 ^ Đọc thêm »

:. F '(x) = (sqrtsinx) (cosx). F (x) = int_0 ^ sinx sqrttdt bởi vì, intsqrttdt = intt ^ (1/2) dt = t ^ (1/2 + 1) / (1/2 + 1) = 2 / 3t ^ (3/2) + c,:. F (x) = [2 / 3t ^ (3/2)] _ 0 ^ sinx :. F (x) = 2/3 giây ^ (3/2) x :. F '(x) = 2/3 [{(sinx)} ^ (3/2)]' Sử dụng Quy tắc chuỗi, F '(x) = 2/3 [3/2 (sinx) ^ (3 / 2- 1)] d / dx (sinx) = (sinx) ^ (1/2) (cosx) :. F '(x) = (sqrtsinx) (cosx). Thưởng thức môn Toán.! Đọc thêm »

12 Chúng ta có thể mở rộng khối lập phương: (2 + h) ^ 3 = 8 + 12h + 6h ^ 2 + h ^ 3 Cắm cái này vào, lim_ (hrightarrow 0) (8 + 12h + 6h ^ 2 + h ^ 3-8) / h = lim_ (hrightarrow 0) (12h + 6h ^ 2 + h ^ 3) / h = lim_ (hrightarrow 0) (12 + 6h + h ^ 2) = 12. Đọc thêm »