Calculus

Dy / dx = csin (cx) cos (x) sin ^ (c-1) (x) + csin ^ c (x) cos (cx) = csin (x) ^ (c-1) sin (cx + x) Với một hàm đã cho y = f (x) = uv trong đó u và v là cả hai hàm của x ta nhận được: dy / dx = u'v + v'u u = sin (cx) u '= c cos (cx) v = sin ^ c (x) v '= c cos (x) sin ^ (c-1) (x) dy / dx = csin (cx) cos (x) sin ^ (c-1) (x) + csin ^ c (x) cos (cx) = csin (x) ^ (c-1) sin (cx + x) Đọc thêm »

Khi cos (xy) + e ^ x (-tan ^ 2 (y) + tan (y) -1) = 0 Chúng ta được cho f (x, y) = sin (x) cos (y) + e ^ xtan ( y) Điểm quan trọng xảy ra khi (delf (x, y)) / (delx) = 0 và (delf (x, y)) / (dely) = 0 (delf (x, y)) / (delx) = cos ( x) cos (y) + e ^ xtan (y) (delf (x, y)) / (dely) = - sin (x) sin (y) + e ^ xsec ^ 2 (y) sin (y) sin ( x) + cos (y) cos (x) + e ^ xtan (y) -e ^ xsec ^ 2 (y) = cos (xy) + e ^ x (tan (y) -sec ^ 2 (y)) = cos (xy) + e ^ x (tan (y) - (1 + tan ^ 2 (y))) = cos (xy) + e ^ x (-tan ^ 2 (y) + tan (y) -1) Không có cách thực sự để tìm giải pháp, nhưng các điểm quan trọng x Đọc thêm »

F (x) = lnx + 1 Chúng tôi chia bất đẳng thức thành 2 phần: f (x) -1> = lnx -> (1) f (x / e) <= lnx-> (2) Hãy xem (1) : Chúng tôi sắp xếp lại để lấy f (x)> = lnx + 1 Hãy xem (2): Chúng tôi giả sử y = x / e và x = ye. Chúng tôi vẫn thỏa mãn điều kiện y trong (0, + oo) .f (x / e) <= lnx f (y) <= lnye f (y) <= lny + lne f (y) <= lny + 1 y inx nên f (y) = f (x). Từ 2 kết quả, f (x) = lnx + 1 Đọc thêm »

Quy tắc lũy thừa: if f (x) = x ^ n thì f '(x) = nx ^ (n-1) Quy tắc tính tổng: if f (x) = g (x) + h (x) thì f' (x) = g '(x) + h' (x) Quy tắc sản phẩm: nếu f (x) = g (x) h (x) thì f '(x) = g' (x) h (x) + g (x) h '(x) Quy tắc đơn vị: if f (x) = g (x) / (h (x)) thì f' (x) = (g '(x) h (x) - g (x) h' ( x)) / (h (x)) ^ 2 Quy tắc chuỗi: nếu f (x) = h (g (x)) thì f '(x) = h' (g (x)) g '(x) Hoặc: dy / dx = dy / (du) * (du) / dx Để biết thêm thông tin: http: // soc.org/calculus/basic-differentiation-rules/summary-of-differentiation-rules Đọc thêm »

E ^ (- 2x) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ n = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4. .. Trường hợp của một chuỗi taylor mở rộng khoảng 0 được gọi là loạt Maclaurin. Công thức chung cho chuỗi Maclaurin là: f (x) = sum_ (n = 0) ^ oof ^ n (0) / (n!) X ^ n Để tìm ra chuỗi cho hàm của chúng ta, chúng ta có thể bắt đầu bằng một hàm cho e ^ x và sau đó sử dụng nó để tìm ra một công thức cho e ^ (- 2x). Để xây dựng chuỗi Maclaurin, chúng ta cần tìm ra đạo hàm thứ n của e ^ x. Nếu chúng ta lấy một vài đạo hàm, chún Đọc thêm »

Khả năng mang vác của một loài là quần thể tối đa của loài đó mà môi trường có thể duy trì vô thời hạn, với các nguồn lực sẵn có. Nó hoạt động như một giới hạn trên về chức năng tăng trưởng dân số. Trên biểu đồ, giả sử rằng hàm tăng trưởng dân số được mô tả với biến độc lập (thường là t trong các trường hợp tăng dân số) trên trục hoành và biến phụ thuộc (dân số, trong trường hợp này là f (x)) trên trục tung , khả năng mang sẽ là một tiệm cận ngang. Trong quá trình b Đọc thêm »

1/2 [-ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) + 1)) + ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) - 1))] + sqrt (1 + e ^ (2x)) + C Đầu tiên chúng ta thay thế: u = e ^ (2x) +1; e ^ (2x) = u-1 (du) / (dx) = 2e ^ (2x); dx = (du) / ( 2e ^ (2x)) intsqrt (u) / (2e ^ (2x)) du = intsqrt (u) / (2 (u-1)) du = 1 / 2intsqrt (u) / (u-1) du Thực hiện a thay thế thứ hai: v ^ 2 = u; v = sqrt (u) 2v (dv) / (du) = 1; du = 2vv 1 / 2intv / (v ^ 2-1) 2vdv = intv ^ 2 / (v ^ 2 -1) dv = int1 + 1 / (v ^ 2-1) dv Phân chia bằng phân số một phần: 1 / ((v + 1) (v-1)) = A / (v + 1) + B / (v- 1) 1 = A (v-1) + B (v + 1) v = 1: 1 = 2B, B = 1/2 v = -1: 1 = -2A, Đọc thêm »

Trong sách giáo khoa tôi sử dụng điểm tới hạn (Stewart Compus) của f = số quan trọng cho f = giá trị của x (biến độc lập) là 1) trong miền của f, trong đó f 'là 0 hoặc không tồn tại. (Giá trị của x đáp ứng các điều kiện của Định lý Fermat.) Một điểm uốn cho f là một điểm trên biểu đồ (có cả tọa độ x và y) mà tại đó độ dốc thay đổi. (Những người khác dường như sử dụng thuật ngữ khác. Tôi không biết họ đã ăn nhầm hoặc chỉ có thuật ngữ khác nhau .. Nhưng các sách giáo khoa tôi đ& Đọc thêm »

Tôi sẽ nói rằng một hàm không liên tục tại a nếu nó liên tục gần một (trong một khoảng mở có chứa a), nhưng không phải là a. Nhưng có những định nghĩa khác được sử dụng. Hàm f liên tục ở số a khi và chỉ khi: lim_ (xrarra) f (x) = f (a) Điều này đòi hỏi phải tồn tại: 1 "" f (a). (a nằm trong miền của f) 2 "" lim_ (xrarra) f (x) phải tồn tại 3 Các số trong 1 và 2 phải bằng nhau. Theo nghĩa chung nhất: Nếu f không liên tục tại a, thì f không liên tục tại a. Một số người sau đó sẽ n&# Đọc thêm »

Pi / 4 Độ dài cung của f (x), x in [ab] được cho bởi: S_x = int_b ^ af (x) sqrt (1 + f '(x) ^ 2) dx f (x) = - xsinx + xcos (x-pi / 2) = - xsinx + xsinx = 0 f '(x) = 0 Vì chúng ta chỉ có y = 0 nên chúng ta có thể lấy độ dài của đường thẳng giữa 0 đến pi / 4 là pi / 4- 0 = pi / 4 Đọc thêm »

Đó là (7sqrt3) / 2 ^ 7 = (7sqrt3) / 128 Phương pháp f (x) = sin ^ 7 (x) Rất hữu ích khi viết lại này dưới dạng f (x) = (sin (x)) ^ 7 bởi vì điều này cho thấy rõ rằng những gì chúng ta có là một hàm năng lượng 7 ^ (th). Sử dụng quy tắc công suất và quy tắc chuỗi (Sự kết hợp này thường được gọi là quy tắc công suất tổng quát.) Với f (x) = (g (x)) ^ n, đạo hàm là f '(x) = n (g (x) ) ^ (n-1) * g '(x), Trong ký hiệu khác d / (dx) (u ^ n) = nu ^ (n-1) (du) / (dx) Trong cả hai trường hợp, cho câu hỏi của Đọc thêm »

F (x) = ln ((x + 3) / 5) +1 Chúng ta biết rằng int1 / xdx = lnx + C, vì vậy: int1 / (x + 3) dx = ln (x + 3) + C Do đó f ( x) = ln (x + 3) + C. Chúng ta được đưa ra điều kiện ban đầu f (2) = 1. Thực hiện các thay thế cần thiết, chúng ta có: f (x) = ln (x + 3) + C -> 1 = ln ((2) +3) + C -> 1-ln5 = C Bây giờ chúng ta có thể viết lại f (x) như f (x) = ln (x + 3) + 1-ln5, và đó là câu trả lời cuối cùng của chúng tôi. Nếu bạn muốn, bạn có thể sử dụng thuộc tính nhật ký tự nhiên sau để đơn giản hóa: lna-lnb = ln (a Đọc thêm »

Ln (x / 2) +1> Đạo hàm của lnx = 1 / x do đó tính chống đạo hàm của 1 / x "là" lnx rArrF (x) = int1 / x dx = lnx + c Để tìm c, sử dụng f (sử dụng f (sử dụng f (sử dụng f) 2) = 1 ln2 + c = 1 c = 1 - ln2 rArr F (x) = lnx + 1-ln2 bằng cách sử dụng • lnx-lny = ln (x / y) "để đơn giản hóa" rArr int1 / x dx = ln ( x / 2) +1 Đọc thêm »

F (x) = 1 / 3x ^ 3 - 3 / 2x ^ 2 + 13/3 Tích hợp f (x): x ^ 3/3 - 3 / 2x ^ 2 + cf (2) = 1 cho phép hằng số tích hợp ( c) được tìm thấy bằng cách đánh giá x = 2, y = 1 rArr 2 ^ 3/3 -3 xx 2 ^ 2/2 + c = 1 rArr 8/3 - 6 + c = 1 rArr c = 1 + 6 - 8/3 = 13/3 rArr f (x) = 1/3 x ^ 3 - 3/2 x ^ 2 + 13/3 Đọc thêm »

Tôi tìm thấy: f (x) = x ^ 3/3 + x ^ 2 / 2-3x + 13/3 Chúng tôi giải tích phân không xác định: int (x ^ 2 + x-3) dx = x ^ 3/3 + x ^ 2 / 2-3x + c và sau đó chúng tôi sử dụng điều kiện của mình để tìm c: f (2) = 3 = (2 ^ 3) / 3 + (2 ^ 2) / 2- (3 * 2) + c vì vậy: 3 = 8/3 + 4 / 2-6 + cc = 3-8 / 3-2 + 6 c = 7-8 / 3 = (21-8) / 3 = 13/3 và cuối cùng: f (x) = x ^ 3/3 + x ^ 2 / 2-3x + 13/3 Đọc thêm »

F (x) = (x ^ 2) / 2-3x + 7 f (x) = intx-3 dx = (x ^ 2) / 2-3x + c Subbing trong 2, f (2) = ((2) ^ 2) / 2-3 (2) + c = 2-6 + c = -4 + c Vì f (2) = 3, -4 + c = 3 c = 7: .f (x) = (x ^ 2) / 2-3x + 7 Đọc thêm »

F (x) = xe ^ xe ^ x + 3-e ^ 2 f (x) = intxe ^ xdx, f (2) = 3 chúng tôi sử dụng tích hợp bởi các phần f (x) = intu (dv) / (dx) dx = uv-intv (du) / (dx) dx trong trường hợp này u = x => (du) / (dx) = 1 (dv) / (dx) = e ^ x => v = e ^ x: .f (x) = xe ^ x-inte ^ xdx f (x) = xe ^ xe ^ x + cf (2) = 3 :. f (2) = 3 = 2e ^ 2-e ^ 2 + c c = 3-e ^ 2 f (x) = xe ^ x-e ^ x + 3-e ^ 2 Đọc thêm »

Sqrt (1 + x ^ 2) -1 / 2ln (abs (sqrt (1 + x ^ 2) +1)) + 1 / 2ln (abs (sqrt (1 + x ^ 2) -1)) + C Sử dụng u ^ 2 = 1 + x ^ 2, x = sqrt (u ^ 2-1) 2u (du) / (dx) = 2x, dx = (udu) / x intsqrt (1 + x ^ 2) / xdx = int ( usqrt (1 + x ^ 2)) / x ^ 2du intu ^ 2 / (u ^ 2-1) du = int1 + 1 / (u ^ 2-1) du 1 / (u ^ 2-1) = 1 / ((u + 1) (u-1)) = A / (u + 1) + B / (u-1) 1 = A (u-1) + B (u + 1) u = 1 1 = 2B, B = 1/2 u = -1 1 = -2A, A = -1 / 2 int1-1 / (2 (u + 1)) + 1 / (2 (u-1)) du = u-1 / 2ln (abs (u + 1)) + 1 / 2ln (abs (u-1)) + C Đưa u = sqrt (1 + x ^ 2) trở lại cho: sqrt (1 + x ^ 2) -1 / 2ln ( abs (sqrt (1 + x ^ 2) +1)) + 1 / 2ln (abs (sqr Đọc thêm »

(sqrt (170), tan ^ -1 (1/13)) - = (13.0,0,0768 ^ c) Với một tập hợp tọa độ nhất định (x, y), (x, y) -> (RCostheta, rsintheta) r = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) theta = tan ^ -1 (y / x) r = sqrt (13 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (169 + 1) = sqrt (170) = 13.0 theta = tan ^ -1 (1/13) = 0,0768 ^ c (13,1) -> (sqrt (170), tan ^ -1 (1/13)) - = (13.0,0,0768 ^ c) Đọc thêm »

Điều này không thể được trả lời mà không có ngữ cảnh. Dưới đây là một số ứng dụng trong toán học. Một tập hợp có số lượng thẻ vô hạn nếu nó có thể được ánh xạ một-một vào một tập hợp con chính của nó. Đây không phải là việc sử dụng vô hạn trong tính toán. Trong Giải tích, chúng tôi sử dụng "vô cực" theo 3 cách. Ký hiệu khoảng: Các ký hiệu oo (tương ứng -oo) được sử dụng để chỉ ra rằng một khoảng không có điểm cuối bên phải (tương ứng bên trá Đọc thêm »

Vận tốc tức thời là vận tốc mà một vật đang di chuyển chính xác tại thời điểm được chỉ định. Nếu tôi đi về phía bắc với tốc độ chính xác là 10m / giây trong mười giây, sau đó quay về hướng tây và di chuyển chính xác 5m / giây trong mười giây nữa, vận tốc trung bình của tôi là khoảng 5,59m / giây theo hướng (gần như) theo hướng bắc-tây bắc. Tuy nhiên, vận tốc tức thời của tôi là vận tốc của tôi tại bất kỳ điểm nào: trong đúng năm giây trong chuyến đi của tôi, vận tốc tức Đọc thêm »

Chúng ta hãy chia khoảng [a, b] thành n khoảng thời gian có độ dài bằng nhau. [a, b] đến {[x_0, x_1], [x_1, x_2], [x_2, x_3], ..., [x_ {n-1}, x_n]}, trong đó a = x_0 <x_1 <x_2 < cdots <x_n = b. Chúng ta có thể tính gần đúng tích phân xác định int_a ^ bf (x) dx theo Quy tắc hình thang T_n = [f (x_0) + 2f (x_1) + 2f (x_2) + cdots2f (x_ {n-1}) + f (x_n)] { ba} / {2n} Đọc thêm »

Quy tắc của L'hopital được sử dụng chủ yếu để tìm giới hạn là x-> a của hàm số có dạng f (x) / g (x), khi giới hạn của f và g tại a sao cho f (a) / g (a) dẫn đến một dạng không xác định, chẳng hạn như 0/0 hoặc oo / oo. Trong những trường hợp như vậy, người ta có thể lấy giới hạn của đạo hàm của các hàm đó là x-> a. Do đó, người ta sẽ tính lim_ (x-> a) (f '(x)) / (g' (x)), sẽ bằng với giới hạn của hàm ban đầu. Như một ví dụ về hàm trong đó hàm này có thể hữu ích, hãy xem xét h Đọc thêm »

Quy tắc của l'Hopital If {(lim_ {x to a} f (x) = 0 và lim_ {x to a} g (x) = 0), (hoặc), (lim_ {x to a} f (x) = pm infty và lim_ {x to a} g (x) = pm infty):} sau đó lim_ {x đến a} {f (x)} / {g (x)} = lim_ {x đến a} {f '( x)} / {g '(x)}. Ví dụ 1 (0/0) lim_ {x đến 0} {sinx} / x = lim_ {x đến 0} {cosx} / 1 = {cos (0)} / 1 = 1/1 = 1 Ví dụ 2 (infty / infty) lim_ {x to infty} {x} / {e ^ x} = lim_ {infty} {1} / {e ^ x} = 1 / {e ^ {infty}} = {1} / {infty} = Tôi hy vọng rằng điều này hữu ích. Đọc thêm »

X = -4 và -8/5 Vì vậy, tiệm cận đứng là một đường kéo dài theo chiều dọc đến vô cùng. Nếu chúng ta chú ý, nó ngụ ý rằng tọa độ y của đường cong đạt tới Vô cực. Chúng ta biết rằng infinite = 1/0 Vì vậy, khi so sánh với f (x), hàm ý rằng mẫu số của f (x) phải bằng không. Do đó, (5x + 8) (x + 4) = 0 Đây là một phương trình bậc hai có gốc là -4 và -8/5. Do đó, tại x = -4, -8/5 chúng ta có các tiệm cận đứng Đọc thêm »

Sec (5x) tan (5x) * 5 Đạo hàm của sec (x) là sec (x) tan (x). Tuy nhiên, vì góc là 5x và không chỉ x, chúng tôi sử dụng quy tắc chuỗi. Vì vậy, chúng tôi nhân lại một lần nữa với đạo hàm 5x là 5. Điều này cho chúng tôi câu trả lời cuối cùng là giây (5x) tan (5x) * 5 Hy vọng điều đó có ích! Đọc thêm »

Nếu bạn thích ký hiệu Leibniz, đạo hàm thứ hai được ký hiệu (d ^ 2y) / (dx ^ 2). Ví dụ: y = x ^ 2 dy / dx = 2x (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 2 Nếu bạn thích ký hiệu số nguyên tố, thì đạo hàm thứ hai được biểu thị bằng hai dấu nguyên tố, trái ngược với một dấu đầu tiên đạo hàm: y = x ^ 2 y '= 2x y' '= 2 Tương tự, nếu hàm nằm trong ký hiệu hàm: f (x) = x ^ 2 f' (x) = 2x f '' (x) = 2 Hầu hết mọi người đều quen thuộc với cả hai ký hiệu, do đó, thông thường bạn không chọn loại ký hiệu nào, miễn l Đọc thêm »

Hàm hợp lý là nơi có x 'dưới thanh phân số. Phần dưới thanh được gọi là mẫu số. Điều này đặt giới hạn cho miền của x, vì mẫu số có thể không hoạt động thành 0 Ví dụ đơn giản: y = 1 / x domain: x! = 0 Điều này cũng xác định tiệm cận đứng x = 0, vì bạn có thể tạo x gần đến 0 như bạn muốn, nhưng không bao giờ đạt được nó. Nó tạo ra sự khác biệt cho dù bạn di chuyển về 0 từ phía dương từ âm (xem biểu đồ). Chúng ta nói lim_ (x-> 0 ^ +) y = oo và lim_ (x-> 0 ^ -) y = -oo Vì vậy, có Đọc thêm »

F '(x) = 72x-18 Nói chung, quy tắc sản phẩm nói rằng nếu f (x) = g (x) h (x) với g (x) và h (x) một số chức năng của x, thì f' ( x) = g '(x) h (x) + g (x) h' (x). Trong trường hợp này g (x) = 6x-4 và h (x) = 6x + 1, vì vậy g '(x) = 6 và h' (x) = 6. Do đó f (x) = 6 (6x + 1) +6 (6x-4) = 72x-18. Chúng ta có thể kiểm tra điều này bằng cách tìm ra sản phẩm của g và h trước, sau đó phân biệt. f (x) = 36x ^ 2-18x-4, vì vậy f '(x) = 72x-18. Đọc thêm »

Điểm cực trị tuyệt đối của hàm trong một khoảng kín [a, b] có thể hoặc cực trị cục bộ trong khoảng đó, hoặc các điểm có ascissae là a hoặc b. Vì vậy, hãy tìm cực trị cục bộ: y '= 2 * (1 * (x ^ 2 + 1) -x * 2x) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 2 * (- x ^ 2 + 1) / (x ^ 2 + 1) ^ 2. y '> = 0 nếu -x ^ 2 + 1> = 0rArrx ^ 2 <= 1rArr-1 <= x <= 1. Vì vậy, hàm của chúng ta đang giải mã trong [-2, -1) và trong (1,2] và nó đang tăng lên trong (-1,1), và do đó, điểm A (-1-1) là điểm tối thiểu cục bộ và điểm B (1,1) l Đọc thêm »

Điểm tối thiểu tại (1 / e, -1 / e) đã cho f (x) = x * ln x thu được đạo hàm đầu tiên f '(x) sau đó bằng 0. f '(x) = x * (1 / x) + ln x * 1 = 0 1 + ln x = 0 ln x = -1 e ^ -1 = xx = 1 / e Giải cho f (x) tại x = 1 / ef (x) = (1 / e) * ln (1 / e) f (x) = (1 / e) * (- 1) f (x) = - 1 / e nên điểm (1 / e , -1 / e) nằm ở góc phần tư thứ 4 là điểm tối thiểu. Đọc thêm »

(ln (x ^ 4) +4) / (2sqrt (xln (x ^ 4))) Hãy viết lại thành: [(xln (x ^ 4)) ^ (1/2)] 'Bây giờ chúng ta phải xuất phát từ bên ngoài vào bên trong bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi. 1/2 [xln (x ^ 4)] ^ (- 1/2) * [xln (x ^ 4)] 'Ở đây chúng tôi có đạo hàm của một sản phẩm 1/2 (xln (x ^ 4)) ^ (- 1/2) * [(x ') ln (x ^ 4) + x (ln (x ^ 4))'] 1/2 (xln (x ^ 4)) ^ (- 1/2) * [1 * ln (x ^ 4) + x (1 / x ^ 4 * 4x ^ 3)] Chỉ cần sử dụng đại số cơ bản để có được một phiên bản bán chính xác: 1/2 (xln (x ^ 4)) ^ (- 1/2) * [ ln (x ^ Đọc thêm »

Hàm khoảng cách là: D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) Hãy thao tác điều này. = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2 (Deltax) ^ 2) = sqrt (1 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2) Deltax Vì về cơ bản là chống đối tích phân không xác định, điều này trở thành một tổng vô hạn của dx nhỏ vô hạn: = sumsqrt (1 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2) Deltax = int sqrt (1 + ((dy) / (dx)) ^ 2) dx đó là công thức cho độ dài cung của bất kỳ chức năng nào bạn có thể tích hợp một cách dễ dàng sau khi thao tác Đọc thêm »

Tôi thấy đơn giản hơn khi nghĩ về điều này khi nhìn vào đạo hàm trước. Ý tôi là: cái gì, sau khi được phân biệt, sẽ dẫn đến một hằng số? Tất nhiên, một biến mức độ đầu tiên. Ví dụ: nếu sự khác biệt của bạn dẫn đến f '(x) = 5, thì rõ ràng là phản đối là F (x) = 5x Vì vậy, tính đối kháng của hằng số là nhân với biến trong câu hỏi (có thể là x, y, v.v. .) Chúng ta có thể đặt nó theo cách này, về mặt toán học: intcdx <=> cx Lưu ý rằng c đang biế Đọc thêm »

L = 3 / 4pisqrt (pi ^ 2 + 1) + 3 / 4ln (pi + sqrt (pi ^ 2 + 1)) đơn vị. > r = 3/4eta r ^ 2 = 9 / 16theta ^ 2 r '= 3/4 (r') ^ 2 = 9/16 Arclength được đưa ra bởi: L = int_-pi ^ pisqrt (9 / 16theta ^ 2 + 9/16) d theta Đơn giản hóa: L = 3 / 4int_-pi ^ pisqrt (theta ^ 2 + 1) d theta Từ đối xứng: L = 3 / 2int_0 ^ pisqrt (theta ^ 2 + 1) d theta Áp dụng thay thế theta = tanphi: L = 3 / 2intsec ^ 3phidphi Đây là một tích phân đã biết: L = 3/4 [secphitanphi + ln | secphi + tanphi |] Đảo ngược sự thay thế: L = 3/4 [thetasqrt (theta ^ 2 + 1) + ln | theta + sqrt (theta ^ 2 + 1) |] _0 ^ pi C Đọc thêm »

Khoảng 27.879 Đây là một phương pháp phác thảo. Việc nghiền một số công việc đã được thực hiện bằng máy tính. Độ dài vòng cung s = int dot s dt và dot s = sqrt (vec v * vec v) Bây giờ, với vec r = 4 theta hat r vec v = dot r hat r + r dot theta hat theta = 4 dot theta hat r + 4 theta dot theta hat theta = 4 dot theta (hat r + theta hat theta) Vì vậy, dot s = 4 dot theta sqrt (1 + theta ^ 2) Arc length s = 4 int_ (t_1) ^ (t_2) ) sqrt (1 + theta ^ 2) dot theta dt = 4 int _ (- pi / 4) ^ (pi) sqrt (1 + theta ^ 2) d theta = 2 [theta sqrt (theta ^ 2 + 1) + sinh ^ ( Đọc thêm »

Độ dài cung ~ ~ .42.42533 (5dp) Độ dài cung là âm do giới hạn dưới 1 lớn hơn giới hạn trên của ln2 Chúng ta có hàm vectơ tham số, được cho bởi: bb ul r (t) = << te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t >> Để tính độ dài cung, chúng tôi sẽ yêu cầu đạo hàm vectơ, chúng tôi có thể tính toán bằng quy tắc sản phẩm: bb ul r '(t) = << (t) (2te ^ (t ^ 2)) + (1) (e ^ (t ^ 2)), (t ^ 2) (e ^ t) + (2t) (e ^ t), -1 / t ^ 2 >> = << 2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t + 2te ^ t, -1 / t ^ 2 >> Sau đ Đọc thêm »

Sqrt (3) Chúng tôi tìm kiếm độ dài cung của hàm vectơ: bb (ul r (t)) = << t, t, t >> cho t trong [1,2] Chúng tôi có thể dễ dàng đánh giá bằng cách sử dụng: L = int_alpha ^ beta || bb (ul (r ') (t)) | | dt Vì vậy, chúng tôi tính đạo hàm, bb (ul (r ') (t)): bb (ul r' (t)) = << 1,1,1 >> Do đó, chúng tôi đạt được độ dài cung: L = int_1 ^ 2 || << 1,1,1 >> || dt = int_1 ^ 2 sqrt (1 ^ 1 + 1 ^ 2 + 1 ^ 2) dt = int_1 ^ 2 sqrt (3) dt = [sqrt (3) t] _1 ^ 2 = sqrt (3) (2-1) = sqrt Đọc thêm »

V = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = pi (85 + 1/3) Để tính toán khối lượng này, theo một nghĩa nào đó, chúng ta sẽ cắt nó thành các lát (vô cùng mỏng). Chúng tôi hình dung khu vực, để giúp chúng tôi với điều này, tôi đã đính kèm biểu đồ trong đó khu vực là phần bên dưới đường cong. Chúng tôi lưu ý rằng y = x ^ 2-1 vượt qua đường x = 5 trong đó y = 24 và nó vượt qua đường y = 0 trong đó x = 1 đồ thị {x ^ 2-1 [1, 5, -1, 24] } Khi cắt vùng này theo Đọc thêm »

Dy / dx = (7 * t ^ (4/3)) / 3 + 4 / (3 * t ^ (2/3) Nhân khối lập phương của t trong ngoặc, ta được y = (t ^ (2 + 1 / 3)) + 4 * t ^ (1/3) Điều này cho chúng ta y = t ^ (7/3) + 4t ^ (1/3) Khi phân biệt, chúng ta nhận được dy / dx = (7 * t ^ (4 / 3)) / 3 + (4 * t ^ (- 2/3)) / 3 Mà cho, dy / dx = (7 * t ^ (4/3)) / 3 + 4 / (3 * t ^ ( 2/3) Đọc thêm »

98 Giá trị trung bình của f trên [a, b] là 1 / (b-a) int_a ^ b f (x) dx. Đối với vấn đề này, đó là 1 / (10-0) int_0 ^ 10 (18x + 8) dx = 1/10 [9x ^ 2 + 8x] _0 ^ 10 = 1/10 [980] = 98. Đọc thêm »

Giá trị trung bình là 4948/5 = 989,6 Giá trị trung bình của f trên khoảng [a, b] là 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx Vì vậy, chúng tôi nhận được: 1 / (2-0) int_0 ^ 2 2x ^ 3 (x ^ 2 + 1) ^ 4 dx = 2/2 int_0 ^ 2 x ^ 3 (x ^ 8 + 4x ^ 6 + 10 ^ 4 + 4x ^ 2 + 1) dx = int_0 ^ 2 (x ^ 11 + 4x ^ 9 + 10 ^ 7 + 4x ^ 5 + x ^ 3) dx = x ^ 12/12 + (4x ^ 10) / 10 + (6x ^ 8) / 8 + (4x ^ 6) / 6 + x ^ 4/4] _0 ^ 2 = (2) ^ 12/12 + (2 (2) ^ 10) / 5 + (3 (2) ^ 8) / 4 + (2 (2) ^ 6) / 3 + ( 2) ^ 4/4 = 4948/5 = 9896/10 = 989.6 Đọc thêm »

1 / 2sin (2), khoảng 0,4546487 Giá trị trung bình c của hàm f trên khoảng [a, b] được cho bởi: c = 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx Ở đây, giá trị này chuyển thành trung bình giá trị của: c = 1 / (0 - (- 4)) int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) dx Hãy sử dụng thay thế u = x / 2. Điều này ngụ ý rằng du = 1 / 2dx. Sau đó chúng ta có thể viết lại tích phân như sau: c = 1 / 4int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) dx c = 1 / 2int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) (1 / 2dx) Tách ra 1 / 4 thành 1/2 * 1/2 cho phép 1 / 2dx có mặt trong tích phân để ch& Đọc thêm »

Giá trị trung bình là 16/3 Giá trị trung bình của hàm f trên một khoảng [a, b] là 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx Vì vậy, giá trị chúng tôi tìm kiếm là 1 / (5-1) int_1 ^ 5 (x-1) ^ 2 dx = 1/4 [(x-1) ^ 3/3] _1 ^ 5 = 1/12 [(4) ^ 3- (0) ^ 3] = 16/3 Đọc thêm »

Đó là (4 (sqrt2-1)) / pi Giá trị trung bình của hàm f trên một khoảng [a, b] là 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx Vì vậy, giá trị chúng ta tìm kiếm là 1 / (pi / 4-0) int_0 ^ (pi / 4) secxtanx dx = 4 / pi [secx] _0 ^ (pi / 4) = 4 / pi [giây (pi / 4) -sec (0)] = 4 / pi [ sqrt2-1] = (4 (sqrt2-1)) / pi Đọc thêm »

Giá trị trung bình của f trên [a, b} là 1 / (b-a) int_a ^ b f (x) dx. Đối với chức năng này trong khoảng thời gian này, tôi nhận -1/3 Ave = 1 / (2-0) int_0 ^ 2 (xx ^ 2) dx = 1/2 [x ^ 2/2-x ^ 3/3] _0 ^ 2 = 1/2 [(4 / 2-8 / 3) - (0)] = 1/2 (-2/3) = -1/3 Đọc thêm »

Xem bên dưới. Giá trị trung bình là 1 / (sqrtpi-0) int_0 ^ sqrtpi 10xsin (x ^ 2) dx = 5 / sqrtpiint_0 ^ sqrtpi 2xsin (x ^ 2) dx = 5 / sqrtpi [-cos (x ^ 2)] _ 0 ^ sqrtpi = 12 / sqrtpi Pedantic Note (12sqrtpi) / pi KHÔNG có mẫu số hợp lý. Đọc thêm »

Lấy tích phân int_1 ^ ooxe ^ -xdx, là hữu hạn và lưu ý rằng nó giới hạn sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n). Do đó, nó là hội tụ, vì vậy sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) là tốt. Tuyên bố chính thức của phép thử tích phân cho biết rằng nếu fin [0, oo) rightarrowRR thì hàm giảm đơn điệu không âm. Khi đó tổng sum_ (n = 0) ^ oof (n) hội tụ khi và chỉ khi "sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx là hữu hạn. (Tau, Terence. Phân tích I, ấn bản thứ hai. Cơ quan sách Hindustan. 2009). Tuyên bố này Đọc thêm »

D) f (x) = x ^ 3, c = 3 Định nghĩa về đạo hàm của hàm f (x) tại một điểm c có thể được viết: lim_ (h-> 0) (f (c + h) -f (c)) / h Trong trường hợp của chúng tôi, chúng tôi có thể thấy rằng chúng tôi có (3 + h) ^ 3, vì vậy chúng tôi có thể đoán rằng hàm là x ^ 3 và c = 3. Chúng tôi có thể xác minh giả thuyết này nếu chúng tôi viết 27 là 3 ^ 3: lim_ (h-> 0) ((3 + h) ^ 3-27) / h = lim_ (h-> 0) ((3 + h) ^ 3 -3 ^ 3) / h Chúng ta thấy rằng nếu c = 3, chúng ta sẽ nhận được: lim_ Đọc thêm »

B) f (x) = cos (x), c = pi / 6 Chúng ta biết: cos (pi / 6) = sqrt3 / 2 Điều này có nghĩa là chúng ta có thể viết lại giới hạn như vậy: lim_ (h-> 0) (cos ( pi / 6 + h) -cos (pi / 6)) / h Xem xét định nghĩa của đạo hàm của hàm f (x) tại một điểm c: lim_ (h-> 0) (f (c + h) -f (c)) / h Một dự đoán hợp lý là c = pi / 6 và khi sử dụng nó, chúng ta có thể thấy rằng các đầu vào của hàm cosine khớp với các đầu vào với f (x) trong định nghĩa: lim_ (h- > 0) (cos (màu (đỏ) (c + h)) - cos (màu (đỏ) (c))) / h Điều Đọc thêm »

Int (1-sin ^ 2 (x)) / sin ^ 2 (x) dx = -cot (x) -x + C Trước tiên chúng ta có thể chia phân số thành hai: int (1-sin ^ 2 (x )) / sin ^ 2 (x) dx = int 1 / sin ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) / sin ^ 2 (x) dx = = int 1 / sin ^ 2 (x) -1 dx = int 1 / sin ^ 2 (x) dx-x Bây giờ chúng ta có thể sử dụng danh tính sau: 1 / sin (theta) = csc (theta) int csc ^ 2 (x) dx-x Chúng tôi biết rằng đạo hàm của cot (x) là -csc ^ 2 (x), vì vậy chúng tôi có thể thêm một dấu trừ cả bên ngoài và bên trong tích phân (để họ hủy bỏ) để xử l Đọc thêm »

Sinh (1/2) ~ ~ 0,52 Chúng tôi biết định nghĩa cho sinh (x): sinh (x) = (e ^ xe ^ -x) / 2 Vì chúng tôi biết loạt Maclaurin cho e ^ x, chúng tôi có thể sử dụng nó để xây dựng một cho sinh (x). e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) ... Chúng ta có thể tìm chuỗi cho e ^ - x bằng cách thay x bằng -x: e ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo (-x) ^ n / (n!) = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n / (n !) x ^ n = 1-x + x ^ 2/2-x ^ 3 / (3!) ... Chúng ta có thể trừ hai số này với nhau để tìm tử số của định nghĩa sinh: màu (trắng) Đọc thêm »

Dy / dx = 5 (5-x) ^ 3 (4 + x) ^ 4-3 (4 + x) ^ 5 (5-x) ^ 2 y = (5-x) ^ 3 (4 + x) ^ 5 dy / dx = d / dx [(5-x) ^ 3 (4 + x) ^ 5] màu (trắng) (dy / dx) = (5-x) ^ 3d / dx [(4 + x) ^ 5] + (4 + x) ^ 5d / dx [(5-x) ^ 3] màu (trắng) (dy / dx) = (5-x) ^ 3 (5 * (4 + x) ^ (5- 1) * d / dx [4 + x]) + (4 + x) ^ 5 (3 * (5-x) ^ (3-1) * d / dx [5-x]) màu (trắng) (dy) / dx) = (5-x) ^ 3 (5 (4 + x) ^ 4 (1)) + (4 + x) ^ 5 (3 (5-x) ^ 2 (-1)) màu (trắng) (dy / dx) = 5 (5-x) ^ 3 (4 + x) ^ 4-3 (4 + x) ^ 5 (5-x) ^ 2 Đọc thêm »

Dy / dx = 3 / (sqrt (16 - (9x ^ 2))) Bạn sẽ cần sử dụng quy tắc chuỗi. Hãy nhớ lại rằng công thức cho điều này là: f (g (x)) '= f' (g (x)) * g '(x) Ý tưởng là bạn lấy đạo hàm của hàm ngoài cùng trước, sau đó chỉ cần làm việc của bạn cách bên trong. Trước khi bắt đầu, hãy xác định tất cả các chức năng của chúng tôi trong biểu thức này. Chúng ta có: arcsin (x) (3x) / 4 arcsin (x) là hàm ngoài cùng, vì vậy chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách lấy đạo hàm của điều đó. V Đọc thêm »

Int x ^ ln (x) dx = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C Chúng tôi bắt đầu bằng một thay thế u bằng u = ln (x). Sau đó, chúng tôi chia cho đạo hàm của u để tích hợp với u: (du) / dx = 1 / x int x ^ ln (x) dx = int x * x ^ u du Bây giờ chúng ta cần giải quyết x theo u: u = ln (x) x = e ^ u int x * x ^ u du = int e ^ u * (e ^ u) ^ u du = int e ^ (u ^ 2 + u) du Bạn có thể đoán rằng điều này không có tính chống đạo hàm cơ bản và bạn đã đúng. Tuy nhiên, chúng ta có thể sử dụng biểu mẫu cho hàm lỗi tưởng tượ Đọc thêm »

Xem bên dưới. Xem xét abs x <1 sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = x ^ 2 d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (- x) ^ n nhưng sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 1 / (1 - (- x)) - 1 và d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 2 / (x + 1) ^ 3 rồi sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (x + 1 ) ^ 3 Đọc thêm »

Int sinh (x) / (1 + cosh (x)) dx = ln (1 + cosh (x)) + C Chúng tôi bắt đầu bằng cách giới thiệu một thay thế u bằng u = 1 + cosh (x). Đạo hàm của u sau đó là sinh (x), vì vậy chúng tôi chia cho sinh (x) để tích hợp với u: int sinh (x) / (1 + cosh (x)) dx = int Canc (sinh (x)) / (hủy (sinh (x)) * u) du = int 1 / u du Tích phân này là tích phân chung: int 1 / t dt = ln | t | + C Điều này làm cho chúng tôi tích phân: ln | u | + C Chúng tôi có thể đặt lại để nhận: ln (1 + cosh (x)) + C, đó là Đọc thêm »

4 = lim_ {n-> oo} (3 / n ^ 3) [tổng_ {i = 1} ^ {i = n} i ^ 2] + (3 / n) [sum_ {i = 1} ^ {i = n} 1] "(Công thức của Faulhaber)" = lim_ {n-> oo} (3 / n ^ 3) [(n (n + 1) (2n + 1)) / 6] + (3 / n) [n ] = lim_ {n-> oo} (3 / n ^ 3) [n ^ 3/3 + n ^ 2/2 + n / 6] + (3 / n) [n] = lim_ {n-> oo} [1 + ((3/2)) / n + ((1/2)) / n ^ 2 + 3] = lim_ {n-> oo} [1 + 0 + 0 + 3] = 4 Đọc thêm »

Xem bên dưới. Thật không may, hàm bên trong tích phân sẽ không tích hợp vào một thứ không thể biểu thị theo các hàm cơ bản. Bạn sẽ phải sử dụng các phương pháp số để làm điều này. Tôi có thể chỉ cho bạn cách sử dụng mở rộng chuỗi để có giá trị gần đúng. Bắt đầu với chuỗi hình học: 1 / (1-r) = 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + r ^ 4 ... = sum_ (n = 0) ^ oor ^ n cho rlt1 Bây giờ tích hợp với r và sử dụng các giới hạn 0 và x để có được điều này: int_0 ^ x1 / (1-r) dr = int_0 ^ x 1 + r + r Đọc thêm »

Quy tắc chuỗi: f '(g (x)) * g' (x) Trong phép tính vi phân, chúng tôi sử dụng Quy tắc chuỗi khi chúng tôi có hàm tổng hợp. Nó nói: Đạo hàm sẽ bằng với đạo hàm của hàm bên ngoài đối với bên trong, nhân với đạo hàm của hàm bên trong. Chúng ta hãy xem những gì trông giống như toán học: Quy tắc chuỗi: f '(g (x)) * g' (x) Hãy nói rằng chúng ta có hàm tổng hợp sin (5x). Chúng ta biết: f (x) = sinx => f '(x) = cosx g (x) = 5x => g' (x) = 5 Vậy Đọc thêm »

Chúng tôi biết rằng một hàm có thể được xấp xỉ bằng công thức này f (x) = sum_ {k = 0} ^ {n} frac {f ^ ((k)) (x_0)} {k!} (X-x_0) ^ k + R_n (x) trong đó R_n (x) là phần còn lại. Và nó hoạt động nếu f (x) có thể lấy được n lần trong x_0. Bây giờ hãy giả sử rằng n = 4, nếu không thì quá phức tạp để tính các đạo hàm. Hãy tính cho mọi k = 0 đến 4 mà không xem xét phần còn lại. Khi k = 0, công thức trở thành: frac {e ^ (2/0)} {0!} (X-0) ^ 0 Và chúng tôi thấy rằng e ^ (2/0) l&# Đọc thêm »

Đây là một cách tiếp cận ... Hãy xem ... Một tuyến tính có dạng f (x) = mx + b trong đó m là độ dốc, x là biến số và b là giao diện y. (Bạn đã biết điều đó!) Chúng ta có thể tìm thấy độ chụm của hàm bằng cách tìm đạo hàm kép của nó (f '' (x)) và trong đó nó bằng 0. Chúng ta hãy làm điều đó sau đó! f (x) = mx + b => f '(x) = m * 1 * x ^ (1-1) +0 => f' (x) = m * 1 => f '(x) = m = > f '' (x) = 0 Vì vậy, điều này cho chúng ta Đọc thêm »

Vì vậy, tôi cũng cần sử dụng quy tắc chuỗi trên (x + 1) ^ 2 dy / dx = u'v + v'u u '= 2 (x + 1) * 1 v' = 2 u = (x + 1) ^ 2 v = (2x-1) phụ thuộc vào quy tắc sản phẩm. dy / dx = 2 (2x + 1) * (2x-1) + 2 (x + 1) ^ 2 dy / dx = 2 (4x ^ 2-1) + 2 (x ^ 2 + 2x + 1) dy / dx = 8x ^ 2-2 + 2x ^ 2 + 4x + 2 dy / dx = 10x ^ 2 + 4x Đọc thêm »

Tôi nghĩ rằng nó không được tiêu chuẩn hóa. Là một sinh viên tại một trường đại học ở Mỹ năm 1975, chúng tôi sử dụng Giải tích của Earl Swokowski (ấn bản đầu tiên). Định nghĩa của anh ta là: Một điểm P (c, f (c)) trên đồ thị của hàm f là một điểm uốn nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa c sao cho các quan hệ sau giữ: (i) màu (trắng) (') "" f' '(x)> 0 nếu a <x <c và f' '(x) <0 nếu c <x <b; hoặc (ii) "" f '' (x) <0 nếu a <x <c và f '' (x)> 0 nếu Đọc thêm »

Dy / dx = e ^ x (cosx + sinx) dy / dx = cosx xx e ^ x + e ^ x xx sinx dy / dx = e ^ x (cosx + sinx) Đọc thêm »

Đây là hàm số mũ của cơ sở b (trong đó b> 0 nên được giả sử). Có thể nghĩ là b ^ x = e ^ (xln (b)), do đó, sử dụng Quy tắc chuỗi (Xem Quy tắc chuỗi) và thực tế là (e ^ x) '= e ^ x (xem Số mũ với Base e) sản lượng (b ^ x) '= e ^ (xln (b)) lần ln (b) = b ^ x lần ln (b) (xem các hàm số mũ). Đọc thêm »

Công thức của một parabol là y = ax ^ 2 + bx + c, trong đó a, b và c là các số. Nếu bạn lấy đạo hàm của điều này: d / dx (ax ^ 2 + bx + c) = 2ax + b Vì vậy, hàm phái sinh là y = 2ax + b Nếu bạn tìm hiểu điều này, bạn sẽ luôn nhận được một dòng, vì đây là một chức năng của thứ tự đầu tiên. Hy vọng điều này sẽ giúp. Đọc thêm »

Đạo hàm của 10x đối với x là 10. Đặt y = 10x Phân biệt y với x. (dy) / (dx) = d / (dx) (10x) (dy) / (dx) = xd / (dx) (10) + 10d / (dx) (x) [chân thành / (dx) (uv) = ud / (dx) v + vd / (dx) u] (dy) / (dx) = x (0) +10 (1) [d / (dx) (const) = 0; d / (dx) ( x) = 1] (dy) / (dx) = 10 Đạo hàm của 10x đối với x là 10. Đọc thêm »

Có một quy tắc để phân biệt các hàm này (d) / (dx) [a ^ u] = (ln a) * (a ^ u) * (du) / (dx) Lưu ý rằng đối với vấn đề của chúng tôi a = 10 và u = x vì vậy hãy cắm vào những gì chúng ta biết. (d) / (dx) [10 ^ x] = (ln 10) * (10 ^ x) * (du) / (dx) nếu u = x thì, (du) / (dx) = 1 vì sức mạnh quy tắc: (d) / (dx) [x ^ n] = n * x ^ (n-1) vì vậy, quay lại vấn đề của chúng tôi, (d) / (dx) [10 ^ x] = (ln 10) * ( 10 ^ x) * (1) đơn giản hóa thành (d) / (dx) [10 ^ x] = (ln 10) * (10 ^ x) Điều này sẽ hoạt động tương tự nếu bạn l Đọc thêm »

D / dx2 ^ (sin (pix)) = 2 ^ (sin (pix)) * ln2 * cospix * (pi) Sử dụng các quy tắc phân biệt tiêu chuẩn sau: d / dxa ^ (u (x)) = a ^ u * lna * (du) / dx d / dx sinu (x) = cosu (x) * (du) / dx d / dxax ^ n = nax ^ (n-1) Chúng tôi thu được kết quả sau: d / dx2 ^ (sin (pix)) = 2 ^ (sin (pix)) * ln2 * cospix * (pi) Đọc thêm »

(d (2pir)) / (dr) màu (trắng) ("XXX") = 2pi (dr) / (dr) theo Quy tắc không đổi cho màu dẫn xuất (trắng) ("XXX") = 2pi ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Quy tắc bất biến cho các công cụ phái sinh cho chúng ta biết rằng nếu f ( x) = c * g (x) với một số hằng số c thì f '(x) = c * g' (x) Trong trường hợp này f (r) = 2pir; c = 2pi và g (r) = r Đọc thêm »

4x + 1> bằng cách sử dụng: f (x) = ax ^ n color (đen) ("then") f '(x) = nax ^ (n-1) Lần lượt áp dụng điều này cho từng thuật ngữ để lấy đạo hàm - Hãy nhớ rằng đạo hàm của hằng số là 0. d / dx (2x ^ 2 + x - 1) = 4x + 1 Đọc thêm »

D / (dx) (- 4 / x ^ 2) = 8x ^ (- 3) Cho trước, -4 / x ^ 2 Viết lại biểu thức bằng cách sử dụng ký hiệu (dy) / (dx). d / (dx) (- 4 / x ^ 2) Chia nhỏ phân số. = d / (dx) (- 4 * 1 / x ^ 2) Sử dụng phép nhân theo quy tắc không đổi, (c * f) '= c * f', đưa ra -4. = -4 * d / (dx) (1 / x ^ 2) Viết lại 1 / x ^ 2 bằng số mũ. = -4 * d / (dx) (x ^ -2) Sử dụng quy tắc công suất, d / (dx) (x ^ n) = n * x ^ (n-1), biểu thức trở thành, = -4 * - 2x ^ (- 2-1) Đơn giản hóa. = màu (xanh lá cây) (| bar (ul (màu (trắng) (a / a) màu (đen) (8x ^ -3) màu (trắng) (a Đọc thêm »

D / (dx) (5 + 6 / x + 3 / x ^ 2) = - 6 / x ^ 2-6 / x ^ 3 Tôi thấy dễ dàng nhất khi nghĩ về dạng số mũ và sử dụng quy tắc sức mạnh: d / (dx) x ^ n = nx ^ (n-1) như sau: d / (dx) (5 + 6 / x + 3 / x ^ 2) = d / (dx) (5 + 6x ^ (- 1 ) + 3x ^ (- 2)) = 0 + 6 ((- 1) x ^ (- 2)) + 3 ((- 2) x ^ (- 3)) = -6x ^ (- 2) -6x ^ (-3) = -6 / x ^ 2-6 / x ^ 3 Đọc thêm »

-5 bây giờ quy tắc công suất cho sự khác biệt là: d / (dx) (ax ^ n) = lo lắng ^ (n-1): .d / (dx) (- 5x) = d / (dx) (- 5x ^ 1 ) = -5xx1xx x ^ (1-1) bằng cách sử dụng quy tắc sức mạnh = -5x ^ 0 = -5 nếu chúng ta sử dụng định nghĩa (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (f (x + h) -f (x)) / h chúng ta có (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (- 5 (x + h) - -5x) / h (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (- 5x-5h + 5x) / h (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (- 5h) / h (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (- 5) = - 5 như trước Đọc thêm »

D / dx | u | = u / | u | * (du) / dx hàm giá trị tuyệt đối như y = | x-2 | có thể được viết như thế này: y = sqrt ((x-2) ^ 2) áp dụng sự khác biệt: y '= (2 (x-2)) / (2sqrt ((x-2) ^ 2)) quy tắc đơn giản hóa, y '= (x-2) / | x-2 | trong đó x! = 2 vì vậy nói chung d / dxu = u / | u | * (du) / dx Tôi sẽ đặt cái này vào kiểm tra hai lần để chắc chắn. Đọc thêm »

Tôi giả sử bạn đang đề cập đến hyperbola bằng nhau, vì đó là hyperbola duy nhất có thể được biểu thị dưới dạng hàm thực của một biến thực. Hàm được xác định bởi f (x) = 1 / x. Theo định nghĩa, forall x in (-infty, 0) cup (0, + infty) đạo hàm là: f '(x) = lim_ {h đến 0} {f (x + h) -f (x)} / { h} = lim_ {h đến 0} {1 / {x + h} -1 / x} / {h} = lim_ {h đến 0} {{x- (x + h)} / {(x + h) x}} / {h} = lim_ {h đến 0} {- h} / {xh (x + h)} = lim_ {h đến 0} {- 1} / {x ^ 2 + hx} = - 1 / x ^ 2 Điều này cũng có thể thu được bằng quy tắc đạo hàm sau đây cho tất cả alph Đọc thêm »

5 Không chắc chắn chính xác về ký hiệu của bạn ở đây. Tôi đang giải thích điều này là: f (x) = 5x Đạo hàm: d / dx 5x = 5 Điều này có được bằng cách sử dụng quy tắc sức mạnh: d / dx x ^ n = n * x ^ (n-1) Từ ví dụ: d / dx 5x ^ 1 = (1) * 5x ^ (1-1) = 5 * x ^ 0 = 5 * 1 = 5 Đọc thêm »

Một nhận xét phụ bắt đầu bằng: ký hiệu cos ^ -1 cho hàm cosine nghịch đảo (rõ ràng hơn, hàm nghịch đảo của giới hạn cosine thành [0, pi]) là phổ biến nhưng gây hiểu nhầm. Thật vậy, quy ước chuẩn cho số mũ khi sử dụng các hàm trig (ví dụ: cos ^ 2 x: = (cos x) ^ 2 gợi ý rằng cos ^ (- 1) x là (cos x) ^ (- 1) = 1 / (cos x). Tất nhiên là không, nhưng ký hiệu rất sai lệch. Ký hiệu thay thế (và thường được sử dụng) arccos x tốt hơn nhiều. Bây giờ đối với đạo hàm. Đây là một hợp chất, vì vậy chúng t Đọc thêm »

F '(x) = - 1 / (xsqrt (1-x ^ 2)) - (cos ^ -1x) / x ^ 2 Sử dụng Quy tắc Quotient, đó là y = f (x) / g (x), sau đó y '= (f' (x) g (x) f (x) g '(x)) / (g (x)) ^ 2 Áp dụng điều này cho vấn đề đã cho, đó là f (x) = (cos ^ -1x ) / x f '(x) = ((cos ^ -1x)' (x) - (cos ^ -1x) (x) ') / x ^ 2 f' (x) = (- 1 / sqrt (1- x ^ 2) * x-cos ^ -1x) / x ^ 2 f '(x) = - 1 / (xsqrt (1-x ^ 2)) - (cos ^ -1x) / x ^ 2, trong đó -1 Đọc thêm »

Bằng cách phân biệt ngầm định, f '(x) = - 1 / {1 + x ^ 2} Chúng ta hãy xem xét một số chi tiết. Bằng cách thay thế f (x) bằng y, y = cot ^ {- 1} x bằng cách viết lại theo nghĩa của cotangent, Rightarrow coty = x bằng cách phân biệt ngầm với x, Rightarrow -csc ^ 2ycdot {dy} / {dx} = 1 bằng cách chia cho -csc ^ 2y, Rightarrow {dy} / {dx} = - 1 / {csc ^ 2y} cho danh tính trig csc ^ 2y = 1 + cot ^ 2y = 1 + x ^ 2, Rightarrow {dy} / {dx} = - 1 / {1 + x ^ 2} Do đó, f '(x) = - 1 / {1 + x ^ 2} Đọc thêm »

Dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) Quá trình: 1.) y = "arccsc" (x) Trước tiên, chúng tôi sẽ viết lại phương trình ở dạng dễ làm việc hơn. Lấy cosecant của cả hai bên: 2.) csc y = x Viết lại theo sin: 3.) 1 / siny = x Giải cho y: 4.) 1 = xsin y 5.) 1 / x = sin y 6. ) y = arcsin (1 / x) Bây giờ, việc lấy đạo hàm sẽ dễ dàng hơn. Bây giờ chỉ là vấn đề của quy tắc dây chuyền. Chúng ta biết rằng d / dx [arcsin alpha] = 1 / sqrt (1 - alpha ^ 2) (có một bằng chứng về danh tính này nằm ở đây) Vì vậy, hãy lấy đạo h Đọc thêm »

F '(x) = e ^ (4x) / ln10 (4ln (1-x) -1 / (1-x)) Giải thích: f (x) = e ^ (4x) log (1 x) Chuyển đổi từ cơ sở 10 đến ef (x) = e ^ (4x) ln (1 x) / ln10 Sử dụng Quy tắc sản phẩm, đó là y = f (x) * g (x) y '= f (x) * g' ( x) + f '(x) * g (x) Tương tự như sau đối với bài toán đã cho, f' (x) = e ^ (4x) / ln10 * 1 / (1-x) (- 1) + ln (1 x) / ln10 * e ^ (4x) * (4) f '(x) = e ^ (4x) / ln10 (4ln (1-x) -1 / (1-x)) Đọc thêm »

-tan (x) / ln (2) f (x) = log_2 (cos (x)) = ln (cos (x)) / ln (2) 1 / ln (2) chỉ là hằng số và có thể bỏ qua. (ln (u)) '= (u') / uu = cos (x), u '= - sin (x) f' (x) = 1 / ln (2) * (- sin (x)) / cos (x) = - tan (x) / ln (2) Đọc thêm »

Trong f (x) = ln (cos (x)), chúng ta có chức năng của một hàm (nó không phải là phép nhân, chỉ cần nói), vì vậy chúng ta cần sử dụng quy tắc chuỗi cho các đạo hàm: d / dx (f (g (g (g (g (g) x)) = f '(g (x)) * g' (x) Đối với vấn đề này, với f (x) = ln (x) và g (x) = cos (x), chúng ta có f '(x) = 1 / x và g '(x) = - sin (x), sau đó chúng tôi cắm g (x) vào công thức cho f' (*). D / dx (ln (cos (x))) = 1 / ( cos (x)) * d / dx (cos (x)) = (1) / (cos (x)) * (- sin (x)) = (- sin (x)) / cos (x) = - Đọc thêm »

Đầu tiên, chúng ta sẽ viết lại hàm theo logarit tự nhiên, sử dụng quy tắc thay đổi cơ sở: f (x) = ln (e ^ x + 3) / ln4 Việc phân biệt sẽ yêu cầu sử dụng quy tắc chuỗi: d / dx f (x) = 1 / ln 4 * d / (d (e ^ x + 3)) [ln (e ^ x + 3)] * d / dx [e ^ x + 3] Chúng tôi biết rằng từ đạo hàm của ln x đối với x là 1 / x, thì đạo hàm của ln (e ^ x + 3) đối với e ^ x + 3 sẽ là 1 / (e ^ x + 3). Chúng ta cũng biết rằng đạo hàm của e ^ x + 3 đối với x sẽ chỉ đơn giản là e ^ x: d / dx f (x) = 1 / ln 4 * 1 / (e ^ x + 3) * (e ^ x ) Đơn giản hóa sản lượng: d Đọc thêm »

Giải pháp f '(x) = e ^ x / (e ^ x + 3) Hãy y = ln (f (x)) Phân biệt với x bằng cách sử dụng Quy tắc chuỗi, chúng tôi nhận được, y' = 1 / f (x) * f '(x) Tương tự như sau đối với sản lượng bài toán đã cho, f' (x) = 1 / (e ^ x + 3) * e ^ x f '(x) = e ^ x / (e ^ x + 3) Đọc thêm »

Một nhận xét bên lề bắt đầu bằng: ký hiệu sin ^ -1 cho hàm sin ngược (rõ ràng hơn là hàm nghịch đảo của giới hạn sin đối với [-pi / 2, pi / 2]) là phổ biến nhưng gây hiểu nhầm. Thật vậy, quy ước chuẩn cho số mũ khi sử dụng các hàm trig (ví dụ: sin ^ 2 x: = (sin x) ^ 2 gợi ý rằng sin ^ (- 1) x là (sin x) ^ (- 1) = 1 / (sin x). Tất nhiên là không, nhưng ký hiệu rất sai lệch. Ký hiệu thay thế (và thường được sử dụng) arcsin x tốt hơn nhiều. Bây giờ đối với đạo hàm. Đây là một hợp chất, vì vậy ch Đọc thêm »

F '(x) = 2 (cosec2x) Giải pháp f (x) = ln (tan (x)) hãy bắt đầu bằng ví dụ chung, giả sử chúng ta có y = f (g (x)) sau đó, Sử dụng Quy tắc chuỗi, y' = f '(g (x)) * g' (x) Tương tự như sau bài toán đã cho, f '(x) = 1 / tanx * sec ^ 2x f' (x) = cosx / sinx * 1 / (cos ^ 2x) f '(x) = 1 / (sinxcosx) để đơn giản hóa hơn nữa, chúng tôi nhân và chia cho 2, f' (x) = 2 / (2sinxcosx) f '(x) = 2 / (sin2x) f' (x) = 2 (cosec2x) Đọc thêm »

Phương pháp 1: Chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách sử dụng quy tắc thay đổi cơ sở để viết lại f (x) tương ứng là: f (x) = (lnx / ln6) ^ 2 Chúng ta biết rằng d / dx [ln x] = 1 / x . (nếu danh tính này trông lạ lẫm, hãy kiểm tra một số video trên trang này để được giải thích thêm) Vì vậy, chúng tôi sẽ áp dụng quy tắc chuỗi: f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * d / dx [ln x / ln 6] Đạo hàm của ln x / 6 sẽ là 1 / (xln6): f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * 1 / (xln 6) Đơn giản hóa cho chúng ta: f' (x) = (2lnx) / (x (ln6) ^ 2) C& Đọc thêm »

Tôi sẽ cho rằng bằng cách đăng nhập, bạn có nghĩa là một logarit với cơ sở 10. Không nên là vấn đề vì dù sao logic cũng áp dụng cho các cơ sở khác. Đầu tiên chúng ta sẽ áp dụng quy tắc thay đổi cơ sở: f (x) = y = ln (x ^ 2 + x) / ln (10) Chúng ta có thể coi 1 / ln10 là hằng số, vì vậy hãy lấy đạo hàm của tử số và áp dụng quy tắc chuỗi: dy / dx = 1 / ln (10) * 1 / (x ^ 2 + x) * (2x + 1) Đơn giản hóa một bit: dy / dx = (2x + 1) / (ln ( 10) * (x ^ 2 + x)) Có đạo hàm của chúng tôi. Hã Đọc thêm »

Đạo hàm là f '(x) = (1-logx) / x ^ 2. Đây là một ví dụ về Quy tắc Quotient: Quy tắc Quotient. Quy tắc thương số nói rằng đạo hàm của hàm f (x) = (u (x)) / (v (x)) là: f '(x) = (v (x) u' (x) -u (x) ) v '(x)) / (v (x)) ^ 2. Nói một cách chính xác hơn: f '(x) = (vu'-uv') / v ^ 2, trong đó u và v là các hàm (cụ thể là tử số và mẫu số của hàm ban đầu f (x)). Đối với ví dụ cụ thể này, chúng tôi sẽ cho phép u = logx và v = x. Do đó u '= 1 / x và v' = 1 Đọc thêm »

Theo quy tắc Quotient, y '= {1 / x cdot x-lnx cdot 1} / {x ^ 2} = {1-lnx} / {x ^ 2} Vấn đề này cũng có thể được giải quyết bằng Quy tắc sản phẩm y' = f '(x) g (x) + f (x) g (x) Hàm ban đầu cũng có thể được viết lại bằng số mũ âm. f (x) = ln (x) / x = ln (x) * x ^ -1 f '(x) = 1 / x * x ^ -1 + ln (x) * - 1x ^ -2 f' (x ) = 1 / x * 1 / x + ln (x) * - 1 / x ^ 2 f '(x) = 1 / x ^ 2-ln (x) / x ^ 2 f' (x) = (1- ln (x)) / x ^ 2 Đọc thêm »

D / dx [sec ^ -1x] = 1 / (sqrt (x ^ 4 - x ^ 2)) Quá trình: Đầu tiên, chúng ta sẽ làm cho phương trình dễ xử lý hơn một chút. Lấy secant của cả hai bên: y = sec ^ -1 x sec y = x Tiếp theo, viết lại theo cos: 1 / cos y = x Và giải cho y: 1 = xcosy 1 / x = warm y = arccos (1 / x) Bây giờ điều này có vẻ dễ phân biệt hơn nhiều. Chúng tôi biết rằng d / dx [arccos (alpha)] = -1 / (sqrt (1-alpha ^ 2)) vì vậy chúng tôi có thể sử dụng danh tính này cũng như quy tắc chuỗi: dy / dx = -1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d / dx [1 / x Đọc thêm »

Hầu hết mọi người nhớ điều này f '(x) = 1 / {sqrt {1-x ^ 2}} là một trong những công thức phái sinh; tuy nhiên, bạn có thể lấy nó bằng cách phân biệt ngầm định. Hãy để chúng tôi rút ra đạo hàm. Đặt y = sin ^ {- 1} x. Bằng cách viết lại theo sin, siny = x Bằng cách khác biệt hoàn toàn với x, ấm cúng cdot {dy} / {dx} = 1 Bằng cách chia cho ấm cúng, {dy} / {dx} = 1 / ấm cúng bởi ấm cúng = sqrt { 1-sin ^ 2y}, {dy} / {dx} = 1 / sqrt {1-sin ^ 2y} Bởi siny = x, {dy} / {dx} = 1 / sqrt {1-x ^ 2} Đọc thêm »

Đạo hàm cho ví dụ này liên quan đến quy tắc dây chuyền và quy tắc sức mạnh. Chuyển đổi căn bậc hai thành số mũ. Sau đó áp dụng Quy tắc sức mạnh và Quy tắc chuỗi. Sau đó đơn giản hóa và loại bỏ các số mũ âm. f (x) = sqrt (1 + ln (x)) f (x) = (1 + ln (x)) ^ (1/2) f '(x) = (1/2) (1 + ln (x )) ^ ((1/2) -1) * (0 + 1 / x) f '(x) = (1/2) (1 + ln (x)) ^ ((- 1/2)) * ( 1 / x) f '(x) = (1 / (2x)) (1 + ln (x)) ^ ((- 1/2)) f' (x) = 1 / (2xsqrt (1 + ln (x) ))) Đọc thêm »

Tôi dường như nhớ lại giáo sư của tôi quên làm thế nào để có được điều này. Đây là những gì tôi đã cho anh ấy thấy: y = arctanx tany = x sec ^ 2y (dy) / (dx) = 1 (dy) / (dx) = 1 / (sec ^ 2y) Vì tany = x / 1 và sqrt (1 ^ 2 + x ^ 2) = sqrt (1 + x ^ 2), giây ^ 2y = (sqrt (1 + x ^ 2) / 1) ^ 2 = 1 + x ^ 2 => màu (màu xanh) ((dy) ) / (dx) = 1 / (1 + x ^ 2)) Tôi nghĩ ban đầu anh ấy dự định làm điều này: (dy) / (dx) = 1 / (sec ^ 2y) sec ^ 2y = 1 + tan ^ 2y tan ^ 2y = x -> giây ^ 2y = 1 + x ^ 2 => (dy) / (dx) = 1 / Đọc thêm »

F '(x) = 3x ^ 2-6x Chúng ta cần quy tắc tổng (u + v + w)' = u '+ v' + w 'và rằng (x ^ n)' = nx ^ (n-1) vì vậy ta được f '(x) = 3x ^ 2-6x Đọc thêm »

Khi bạn phân biệt số mũ với một cơ sở khác với e, hãy sử dụng quy tắc thay đổi cơ sở để chuyển đổi nó thành logarit tự nhiên: f (x) = x * lnx / ln5 Bây giờ, hãy phân biệt và áp dụng quy tắc sản phẩm: d / dxf (x) = d / dx [x] * lnx / ln5 + x * d / dx [lnx / ln5] Chúng tôi biết rằng đạo hàm của ln x là 1 / x. Nếu chúng ta coi 1 / ln5 là một hằng số, thì chúng ta có thể giảm phương trình trên thành: d / dxf (x) = lnx / ln5 + x / (xln5) Đơn giản hóa sản lượng: d / dxf (x) = (lnx + 1) / ln5 Đọc thêm »

Hàm f (x) = x * ln (x) có dạng f (x) = g (x) * h (x) làm cho nó phù hợp với thiết bị của quy tắc sản phẩm. Quy tắc sản phẩm nói rằng để tìm đạo hàm của hàm đó là sản phẩm có hai hoặc nhiều hàm sử dụng công thức sau: f '(x) = g' (x) h (x) + g (x) h '(x) In trường hợp của chúng tôi, chúng tôi có thể sử dụng các giá trị sau cho mỗi hàm: g (x) = xh (x) = ln (x) g '(x) = 1 h' (x) = 1 / x Khi chúng tôi thay thế từng giá trị này thành quy tắc sản phẩm, chúng tôi nhận Đọc thêm »